计算从L到R的所有数字中的总置位位数

在本文中，我们将探讨如何计算从L到R的所有数字中的总置位位数。在这个问题中，我们需要计算所有数字的二进制表示中的1的个数（也被称为“置位”）。我们可以通过多种方法来解决这个问题。

方法一：暴力解法

暴力解法是最简单的方法之一，我们可以遍历从L到R的所有数字，并计算每个数字的二进制表示中的1的个数。这个方法的时间复杂度为O((R-L+1)log2(R))，其中log2(R)是R的二进制表示中的位数。

实现代码如下：

def count_bits(L, R):
    res = 0
    for num in range(L, R+1):
        res += bin(num).count('1')
    return res

方法二：利用位运算

我们可以利用位运算来求解这个问题。具体来说，我们可以使用以下代码来计算一个数字的二进制表示中1的个数：

def count_bits(num):
    res = 0
    while num:
        res += num & 1
        num >>= 1
    return res

在这个方法中，我们使用了位运算符&和右移运算符>>。对于每个数字num，我们将其二进制表示的最后一位与1进行&运算，以计算它的最后一位是否是1。然后，我们将num向右移动一位，以继续计算它的下一位。

使用这个方法，我们可以很容易地计算出从L到R的所有数字中的总置位位数。实现代码如下：

def count_bits(L, R):
    res = 0
    for num in range(L, R+1):
        res += count_bits(num)
    return res

这个方法的时间复杂度为O((R-L+1)log2(R))，空间复杂度为O(1)。

方法三：位运算优化

我们可以进一步优化我们的算法，使其更加高效。具体来说，我们可以使用一个小技巧来计算一个数字的二进制表示中1的个数。对于一个数字num，我们可以用(num & (num - 1))来消除其二进制表示中的最后一个1，这样我们就可以在一次迭代中计算出num的二进制表示中1的个数。

使用这个技巧，我们可以修改我们的代码，以更快地解决这个问题。实现代码如下：

def count_bits(L, R):
    res = 0
    for num in range(L, R+1):
        while num:
            num &= num - 1
            res += 1
    return res

这个方法的时间复杂度为O((R-L+1)log2(R))，空间复杂度为O(1)。

总结

在本文中，我们介绍了三种方法来计算从L到R的所有数字中的总置位位数。虽然这三种方法的时间复杂度都是O((R-L+1)log2(R))，但它们之间有一些微小的差异。暴力解法是最简单的方法，但是它有一个缺点，即它的时间复杂度很高。我们可以通过利用位运算来提高算法的效率，但这个方法比较难理解。最后，我们还介绍了一个位运算优化技巧，可以帮助我们更快地计算二进制的1的个数。