爆破气球以最大化硬币

介绍

这是一个有趣的问题：在一个空间中有许多气球，每个气球有不同的硬币数，你可以通过爆破气球来获得其中的硬币，但每次爆破气球都需要指定左右两侧已经爆破的气球，爆破当前的气球将获得左右两侧气球上的硬币数乘以当前气球上的硬币数的乘积个硬币。

这个问题可以抽象成一个动态规划问题：设 $N$ 为气球的总数，$coins_i$ 表示第 $i$ 个气球上的硬币数，$dp_{i,j}$ 表示在 $i$ 和 $j$ 之间（不包括 $i,j$）爆破气球所能获得的最大硬币数，则有

$$ dp_{i,j}=\max_{i<k<j}{dp_{i,k}+dp_{k,j}+coins_i \times coins_j \times coins_k} $$

其中 $\max$ 表示取所有 $i<k<j$ 的最大值。

代码

以下给出 Python 代码实现：

def maxCoins(nums):
    nums = [1] + nums + [1]
    n = len(nums)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for l in range(2, n):
        for i in range(n - l):
            j = i + l
            for k in range(i + 1, j):
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[j] * nums[k])
    return dp[0][n - 1]

其中 maxCoins 函数接受一个列表 nums，表示每个气球上的硬币数。该函数返回通过最优策略获得的最大硬币数。

测试

以下给出对 maxCoins 函数的测试：

assert maxCoins([3,1,5,8]) == 167
assert maxCoins([1,5]) == 10
assert maxCoins([1]) == 1

总结

这个问题值得一做，既考察了动态规划的思想，也考验了扎实的数学功底。