最大化索引的数量，使得元素大于其左侧的元素

这个问题可以用贪心算法来解决。我们可以从左到右遍历数组，让当前的元素尽可能大。

具体来说，我们用一个变量来记录当前的最大值，然后如果当前的元素比最大值大，就将它的索引加入结果集中，并更新最大值为当前元素的值。

实际上，这个算法的正确性可以通过归纳法来证明。假设我们已经找到了前 $i$ 个元素最大化索引的数量的结果，我们要证明继续往后遍历可以得到最优解。显然，对于任意 $i+1 \le j \le n$，如果 $a_j$ 大于它左侧的元素，那么它必须被选中；否则，如果我们将 $a_j$ 替换成它左侧的元素，那么也能得到一个可以最大化索引数量的解。

下面是这个算法的Python代码，时间复杂度为 $O(n)$：

def max_index(nums):
    n = len(nums)
    res = [0]
    max_num = nums[0]
    for i in range(1, n):
        if nums[i] > max_num:
            res.append(i)
            max_num = nums[i]
    return res

这个算法的空间复杂度是 $O(n)$，因为在最坏情况下所有的元素都会被选中。如果我们考虑到结果集的长度最多为 $n-1$，那么可以采用in-place的方法，将结果存储在原数组中，可以将空间复杂度降为 $O(1)$：

def max_index_in_place(nums):
    n = len(nums)
    j = 0
    max_num = nums[0]
    for i in range(1, n):
        if nums[i] > max_num:
            nums[j] = max_num
            j += 1
            max_num = nums[i]
    nums[j] = max_num
    return j+1

其中，返回值为最大化索引数量的结果长度。注意，在最后还要额外写入一个数，即数组中最后一个元素的值。

综上，我们给出了两种解决这个问题的算法，它们的核心思想都是贪心。这些思想不仅可以用于这个问题，还可以运用到许多其他的问题中。