第K个最小位数，具有k个设置位。

在数字中，一个“设置位”是指数字的二进制表示中的一个“1”。这意味着，数字“10010”中有两个设置位。

在这个主题中，我们的目标是找到具有k个设置位的最小数字的第K个位数。让我们详细了解一下这个问题。

解决方案

我们可以通过生成所有具有k个设置位的数字，并按数字顺序来查找第K个位数。但是，这种方法在处理大数字时会很慢。

我们可以使用二进制数学来更有效地解决这个问题。如果我们对于数字N，我们可以计算它的二进制表示中有多少1，我们将其称为“popcount”。您可以使用以下代码计算popcount：

def popcount(n):
    count = 0
    while n:
        count += n & 1
        n >>= 1
    return count

我们还需要一种方法来找到具有k个设置位的最小数字，他们的二进制表示中在给定位置上是1的数字数量。我们可以使用一些移位和位掩码技巧来做到这一点：

def find_ith_with_k_bits_set(i, k):
    num = 0
    for j in range(k):
        # 找到数字n的二进制表示中，第j个1出现的位置
        # 例如，num=5（0b101），j=1，则pos=2
        pos = int(log(i - 1, 2) + 1)
        # 设置num的第pos个二进制位为1
        num |= 1 << pos
        # 准备在下一个位置找下一个1
        i -= choose(pos, k - j)
    return num

在上面的代码中，我们在给定的二进制数num中找到了它的第j个1的位置，并将其设置为1。接下来，我们使用组合数的公式来计算还剩下多少数量的1是需要出现在更高的位置上（例如，在比pos更高的位置上）。然后我们使用这个数字来寻找下一个1的位置。

这个函数最后返回一个数字，它有k个设置位，它们所在的二进制位置，在二进制表示中给出的位置是连续的。

最后，我们可以合并这两个函数，获取到具有k个设置位的最小数字的第K个位数：

def kth_smallest_bit_with_k_bits_set(k, n):
    ith = find_ith_with_k_bits_set(k, popcount(n))
    # 找到ith的二进制表示中最低的1的位置
    # 这个位置就是ith的第K个位数
    return int(log2(ith & -ith)) + 1

代码运行起来很快，因为它避免了生成所有具有k个设置位的数字。相反，它使用一些普通的位操作技巧来快速计算答案。

总结

在这个主题中，我们使用了一些二进制数学技巧来找到具有k个设置位的最小数字的第K个位。我们首先计算二进制表示中的每个数字的设置位，然后使用组合数和位掩码技巧来找到具有k个设置位的最小数字。最后，我们在这个数字的二进制表示中找到第K个位数。这些技巧可以帮助您更好地处理数字问题，并加速算法的运行速度。