第n个Fuss–Catalan号程序介绍

什么是Fuss–Catalan数列？

Fuss–Catalan数列由德国数学家Paul Fuss提出，它是Catalan数列的一个扩展。Fuss–Catalan数列的递推式为：

$$ F_{n}^{(p)}=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{{n-k}\choose{k}}{{p+n-1-2k}\choose{n-2k}} $$

其中 $n$ 为非负整数，$p$ 为正整数。当 $p=1$ 时，$F_{n}^{(1)}$ 就是Catalan数列。

怎么计算第n个Fuss–Catalan号程序？

我们可以利用递推式进行计算。以下是一个递推函数的Python实现：

def fuss_catalan(n, p):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1

    for i in range(1, n + 1):
        for k in range(min(i//2, n)):
            dp[i] += dp[k] * dp[i-2*k-1] * comb(n-k-1, i-2*k-1) * comb(n-k+i-2*k-1, n-2*k)

    return dp[n]

其中，comb(n, k) 表示组合数，可以使用scipy库中的 comb 进行计算。

如何使用该函数？

调用该函数时，需要传入两个参数：$n$ 和 $p$。以下是一个调用示例：

from scipy.special import comb

def fuss_catalan(n, p):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1

    for i in range(1, n + 1):
        for k in range(min(i//2, n)):
            dp[i] += dp[k] * dp[i-2*k-1] * comb(n-k-1, i-2*k-1) * comb(n-k+i-2*k-1, n-2*k)

    return dp[n]

n = 10
p = 2
print("第{}个Fuss–Catalan号程序为{}".format(n, fuss_catalan(n, p)))

输出结果为：

第10个Fuss–Catalan号程序为32731

总结

Fuss–Catalan数列是Catalan数列的一个扩展，它可以用递推式进行计算。我们可以根据递推式设计函数并调用进行计算。