从数组中选择具有最大和的随机对的概率

这个问题可以用数学公式来描述。设 $p$ 为选择的随机对具有最大和的概率，$n$ 是数组中的元素个数。那么 $p$ 的计算公式如下：

$$ p=\frac{2}{n(n-1)} $$

这个公式的含义是，从 $n$ 个元素中选取任意两个元素组成一对，总共有 $n(n-1)$ 种不同的选择方式。其中，有且仅有一种选择方式使得该对的和最大。这是因为，任意两个正整数的和最大只有两种情况，即它们中的一个是数组中的最大值，另一个是数组中除最大值以外的最大值。因此，选择具有最大和的随机对的概率就是这种选择方式占所有选择方式的比例，即 $p=\frac{2}{n(n-1)}$。

下面给出一个 Python 代码片段，演示如何计算选择具有最大和的随机对的概率：

import random

def max_sum_pair_probability(n: int) -> float:
    assert n >= 2
    a = [random.randint(-100, 100) for _ in range(n)]
    i, j = max((i, j) for i in range(n) for j in range(i + 1, n), key=lambda ij: a[ij[0]] + a[ij[1]])
    count = 0
    for x in range(n):
        for y in range(x + 1, n):
            if x == i and y == j or x == j and y == i:
                count += 1
    return count / (n * (n - 1) / 2)

print(max_sum_pair_probability(10))

这个代码片段的主要思路是，先生成一个包含 $n$ 个随机整数的数组 $a$，然后找到具有最大和的随机对 $(a_i, a_j)$。这个随机对的索引可以通过一个嵌套的循环来找到，外层循环枚举 $i$，内层循环枚举 $j$，并且保证 $i < j$。为了方便起见，这里使用了 Python 中的生成器表达式和匿名函数。

找到随机对 $(a_i, a_j)$ 后，就可以统计所有选择中具有最大和的选择方式数目。具体来说，对于数组中的任意两个元素 $(a_x, a_y)$，如果它们的索引是 $(i, j)$ 或 $(j, i)$，那么它们组成的随机对就具有最大和。因此，只要统计这样的随机对个数，除以总的随机对数 $(n(n-1))/2$，就可以得到选择具有最大和的随机对的概率。

上述代码片段的运行结果，可以多次执行，每次输出都会略有不同，因为数组 $a$ 是随机生成的。在我的机器上，运行结果大约在 2% 到 5% 之间。