偶数方法和绕组数方法：多边形的内部和外部测试

在计算机图形学中，经常需要判断一个点是否在一个多边形内部或外部。偶数方法和绕组数方法是两种常用的方法，下面将详细介绍它们。

偶数方法

偶数方法（Even-Odd Rule）是最简单的方法之一。它的基本思想是从点P向任一方向引一条线，然后数交点的个数。如果交点个数是偶数，那么点在多边形外部；如果是奇数，那么点在多边形内部。

示意图如下：

算法步骤：

1. 将多边形的边按照顺序存储到数组edge中；
2. 从点P向任一方向画一条射线，与多边形的每一条边进行求交，记录交点的数量；
3. 如果交点数量为偶数，点在多边形外部；如果交点数量为奇数，点在多边形内部。

Python代码

def is_point_in_polygon(point, polygon):
    # 偶数方法
    n = len(polygon)
    count = 0
    for i in range(n):
        p1 = polygon[i]
        p2 = polygon[(i + 1) % n]
        if p1[1] == p2[1]:
            continue
        if point[1] < min(p1[1], p2[1]):
            continue
        if point[1] >= max(p1[1], p2[1]):
            continue
        x = (point[1] - p1[1]) * (p2[0] - p1[0]) / (p2[1] - p1[1]) + p1[0]
        if x > point[0]:
            count += 1
    return count % 2 == 1 

绕组数方法

绕组数方法（Winding Number Rule）是另一种常用的判断点与多边形位置关系的方法。它的基本思想是计算点P绕多边形每个顶点的方向，然后求和得到一个绕组数。如果绕组数为0，点在多边形外部；绕组数为正数，点在多边形内部；绕组数为负数，点在多边形外部。

示意图如下：

算法步骤：

1. 将多边形的边按照顺序存储到数组edge中；
2. 对于点P，计算它与多边形每个顶点的连线与x轴的夹角，以及连线的方向（顺时针或逆时针）；
3. 对于每个连线的方向，如果是顺时针，绕组数加1；如果是逆时针，绕组数减1；
4. 最终得到的绕组数如果为0，点在多边形外部；绕组数为正数，点在多边形内部；绕组数为负数，点在多边形外部。

Python代码

def is_point_in_polygon(point, polygon):
    # 绕组数方法
    n = len(polygon)
    wn = 0
    for i in range(n):
        p1 = polygon[i]
        p2 = polygon[(i + 1) % n]
        if p1[1] <= point[1]:
            if p2[1] > point[1] and (p2[0] - p1[0]) * (point[1] - p1[1]) > (point[0] - p1[0]) * (p2[1] - p1[1]):
                wn += 1
        else:
            if p2[1] <= point[1] and (p2[0] - p1[0]) * (point[1] - p1[1]) < (point[0] - p1[0]) * (p2[1] - p1[1]):
                wn -= 1
    return wn != 0

测试多边形和测试点

下面给定一个多边形和一个测试点进行测试。

多边形顶点坐标为：(0, 0), (0, 5), (5, 5), (5, 0)，测试点坐标为：(2, 2)。

Python代码

if __name__ == '__main__':
    polygon = [(0, 0), (0, 5), (5, 5), (5, 0)]
    point = (2, 2)
    if is_point_in_polygon(point, polygon):
        print(f'点 {point} 在多边形内部')
    else:
        print(f'点 {point} 在多边形外部')

输出结果

点 (2, 2) 在多边形内部

总结

偶数方法和绕组数方法都是常用的判断点与多边形位置关系的方法。偶数方法的实现简单，但是需要处理射线与边平行或重叠的情况；绕组数方法的实现相对复杂，但是可以处理多边形内部有凹角或折叠的情况。在实际应用中，可以根据数据的特点选择使用哪种方法。