在给定的边数总和下最大化长方体的体积

问题描述

给定边数 $n$，求最大化的长方体体积。

解题思路

我们可以将长方体边长分为 $a, b, c$ 三个部分，即长方体的体积为 $V = abc$。又因为边数总和为 $n$，所以 $2(a + b + c) = n$，即 $a+b+c = \frac{n}{2}$。根据均值不等式，当 $a=b=c$ 时 $abc$ 取得最大值，因此我们可以将边长设为 $\frac{n}{6}$。

但是上面的做法存在一个问题：当 $n$ 不是 $6$ 的倍数时，上述做法不再成立。那么我们就需要将剩余的边长加到其中的某一个边上，才能仍保证体积最大。考虑将多余的边长加到 $a$ 上，则我们有：

$$ V = abc = \left(\frac{n}{6} + x\right) \cdot \left(\frac{n}{6}\right)^2 = \frac{n^3}{216} + \frac{nx^2}{36} + \frac{x^3}{216} $$

其中，$x$ 为多余的边长。为了使 $V$ 最大，我们需要求一阶导数并使其为零：

$$ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}=\frac{nx}{18} + \frac{x^2}{72}=0 $$

解出 $x = \frac{n}{6}$，则此时 $a = \frac{n}{6} + \frac{n}{6} = \frac{n}{3}$。

因此，在 $n$ 为 $6$ 的倍数时，边长为 $\frac{n}{6}$，否则边长为 $\frac{n}{3}$。

代码实现

def max_volume(n):
    if n % 6 == 0:
        a = b = c = n // 6
    else:
        a = n // 3
        b = c = (n - 3 * a) // 2
    return a * b * c

返回的是最大体积 V。