未加权图中的多源最短路径

在无向、无权图中，最短路径问题可以通过深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）来解决。但是，如果图有向或有权，或者需要从多个源节点找到最短路径，则需要使用其他算法。

问题描述

给定一个无向图（有向图也适用）和一组源节点（可能是一个或多个），找到从每个源节点到图中其他节点的最短路径。

解决方案

最短路径问题是图论中的一个经典问题。在经典的单源最短路径问题中，我们需要找到从一个源节点到所有其他节点的最短路径。这可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来解决。

然而，在多源最短路径问题中，我们需要找到从每个源节点到所有其他节点的最短路径。一种解决方案是对每个源节点都运行一遍Dijkstra算法，但这样的运算时间和空间开销很大。

因此，我们需要更高效的算法来解决问题。其中一种方法是基于转移矩阵的算法。

基于转移矩阵的算法

在多源最短路径问题中，我们需要找到从每个源节点到所有其他节点的最短路径。我们可以用$n$个源节点分别进行一次BFS遍历，但这样需要计算$n|V|$个节点以及$n|E|$条边。另一个思路是定义一个转移矩阵$T$，其中$T_{i,j}$表示从节点$i$到节点$j$的最短距离。初始时，所有已知的最短距离为$0$，即已知$T_{i,i}=0$。我们可以使用这个矩阵来构建最终的最短路径。

第$k$次更新矩阵时，使用当前已知的所有最短路径加上新的节点$k$。记录此次更新矩阵中每个元素的值，直到矩阵不再更新。最终的转移矩阵$T$就是所需的最短路径矩阵。

代码示例

下面是一个基于转移矩阵的多源最短路径问题求解的Python实现。

def multi_source_shortest_path(graph: List[List[int]], sources: List[int]) -> List[List[int]]:
    n = len(graph)
    t = [[float("inf") for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        t[i][i] = 0
    for src in sources:
        q = [src]
        visited = set(q)
        while q:
            curr = q.pop(0)
            for neighbor in graph[curr]:
                if neighbor not in visited:
                    t[src][neighbor] = t[src][curr] + 1
                    visited.add(neighbor)
                    q.append(neighbor)
    return t

该函数接受一个邻接表表示的图和一个源节点列表，返回一个转移矩阵，其中$T_{i,j}$表示从节点$i$到节点$j$的最短距离。

算法分析

基于转移矩阵的多源最短路径算法的时间复杂度为$O(k|V|^2)$，其中$k$为源节点数，$|V|$为节点数。空间复杂度也为$O(k|V|^2)$，即转移矩阵的大小。如果只有一个源节点，则复杂度为$O(|V|^2)$。

转移矩阵法相比于基于单源最短路径算法的多次遍历，预处理后只需要一次遍历，大大减少了计算量。但是，由于需要计算转移矩阵，所以需要更多的空间。因此，对于规模较小的图，可以使用该算法。对于规模较大的图，更适合使用基于单源最短路径算法的多次遍历。