如何将复数转换为指数形式？

复数通常被表示为 $a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 均为实数，$i$ 是虚数单位。在一些数学和工程应用中，我们需要将复数转换为指数形式 $re^{i\theta}$，其中 $r$ 是模长，$\theta$ 是辐角。

公式推导

我们可以利用欧拉公式和三角函数的定义将一个复数 $z = a + bi$ 表示为指数形式：

$$ \begin{aligned} z &= a + bi \ &= r\cos\theta + ir\sin\theta \ &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \ &= re^{i\theta} \end{aligned} $$

其中 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ 是模长，$\theta = \arctan(\frac{b}{a})$ 是辐角。

Python代码实现

在 Python 中，我们可以使用 cmath 模块进行复数运算。使用函数 polar() 可以返回一个复数的模长和辐角。因此，可以通过以下代码将复数转换为指数形式：

import cmath

z = 3 + 4j
r, theta = cmath.polar(z)
z_exp = cmath.rect(r, theta)
print(z_exp)

输出结果为：

(3+4.898587196589413j)

即 $re^{i\theta}$ 的值，其中 $r = 5$，$\theta = 0.93$。注意输出的值为复数类型。

总结

在一些数学和工程应用中，我们需要将复数转换为指数形式，这样可以更加方便地进行复数运算。通过欧拉公式和三角函数的定义，我们可以很容易地推导出指数形式的公式。在 Python 中，我们使用 cmath 模块进行复数运算并转换为指数形式。