谜题75 | 囚帽

简介

谜题75，也被称为“囚帽问题”，是一道著名的逻辑谜题。谜题内容如下：

三个囚犯被选中执行死刑，狱长却决定玩一个游戏，来决定谁会被处决。游戏规则如下：狱长将带同一种颜色的囚帽子带给三个囚犯，这些囚犯将被摆在一排，使得每个囚犯都可以看到他前面的囚犯戴了什么颜色的囚帽子，但是他看不到自己的囚帽子以及后面人的囚帽子。当拿到帽子后，狱长将不会说任何话，仅是观察游戏的进程。如果其中一位囚犯发现了自己固定的颜色，他将会说“我知道我戴的是什么颜色的囚帽子”，如果说得正确，他将被赦免；否则他将被处决。开始时其中一些囚犯的面前已经摆好了固定颜色的囚帽，其他人什么也没有。

解题思路

这道谜题看似十分复杂，但其实背后蕴含了一个简单的原理：二进制计数。

我们将三个囚犯分别标为1、2、3；帽子颜色分别标为红色和蓝色。我们可以将红色帽子标记为1，蓝色帽子标记为0，这样所有可能的困境状态就可以用8位二进制数表示。例如：

• 111：三个囚犯都戴上了红色的囚帽子
• 110：1号和2号囚犯戴上了红色的囚帽子，3号囚犯戴上了蓝色的囚帽子
• 101：1号和3号囚犯戴上了红色的囚帽子，2号囚犯戴上了蓝色的囚帽子
• ...

给出具体的解题过程：

1. 如果3号囚犯戴上了红帽子，则 2 号和 1 号囚犯都小心发言，因为他们都看到了红色的帽子，如果他们两个都没发言，那么3号囚犯的帽子就是红色的，因为这是唯一剩下的选择。反过来说，如果3号囚犯戴上了蓝帽子，那么2号囚犯和1号囚犯都会大胆发言，因为如果他们戴上了红帽子，那么3号囚犯的帽子就是蓝色的。
2. 这时候我们需要解决的就是如何令 1 号和 2 号区分开来。假设他们两个都没发言，那么他们就无法区分自己的帽子颜色。但是如果他们中的一个发言了，另外一个就可以通过另一个囚犯发言的颜色推算自己帽子的颜色了。
3. 当然，最理想的情况是两个人都有发言。这时候他们就可以通过互相推断来确认自己的帽子颜色了。

代码片段

def prisoner_hat_puzzle(hats: List[int]) -> str:
    """
    知道自己帽子颜色的囚犯说出颜色，否则不说话。
    
    Args：
    hats -- 囚犯帽子颜色，1表示红帽子，0表示蓝帽子
    
    Return：
    res -- 各囚犯应说的话语
    """
    # 判断囚犯数量是否为3
    if len(hats) != 3:
        return "Wrong Input"
    
    # 根据二进制计数法解题
    res = []
    for i in range(2 ** len(hats)):
        binary_i = bin(i)[2:].zfill(len(hats))
        if sum([int(j) for j in binary_i]) > 1:
            continue
        
        hat_index = 0
        for j in range(len(hats)):
            if j != hat_index and binary_i[j] == '1':
                # 如果除戴帽子的囚犯外，还有一个囚犯说帽子是红色的，那么真正戴红帽子的囚犯肯定能推断出自己帽子的颜色
                if hats[hat_index] == 1:
                    res.append("囚犯%s: 蓝色" % (hat_index + 1))
                else:
                    res.append("囚犯%s: 红色" % (hat_index + 1))
                break
            hat_index += 1
        else:
            res.append("囚犯%s: 跳过状态%s" % (hat_index + 1, binary_i))
            
    return "\n".join(res)