给定数组中具有GCD K的三元组计数

给定一个长度为N的数组A和一个整数K，计算由三个元素组成的三元组（i，j，k），使得i<j<k并且Ai，Aj和Ak的最大公因数均为K。

算法

思路

• 选取三个数依次判断是否满足条件，时间复杂度为O（N^3）。
• 使用哈希表记录数组中各元素的出现次数，时间复杂度为O（N^2）。

因为O（N^2）时间复杂度的算法比O（N^3）更优，因此以下内容将更多地介绍哈希表解决方案。

步骤

1. 遍历整个数组，将每个出现的元素及其出现的次数记录在哈希表中。
2. 遍历哈希表中所有的键，因为三元组的第一个元素i必须小于第二个元素j，因此只计算大于当前键值的元素。
3. 遍历满足条件的键的所有出现位置，计算符合要求的数量并将其相加。

代码

def count_triplets(arr, k):
    n = len(arr)
    hash_map = {}
    for i in range(n):
        if arr[i] % k == 0:
            if arr[i] in hash_map:
                hash_map[arr[i]] += 1
            else:
                hash_map[arr[i]] = 1
    count = 0
    for i in range(len(hash_map)):
        a = list(hash_map.keys())[i]
        for j in range(i, len(hash_map)):
            b = list(hash_map.keys())[j]
            c = k - a - b
            if c in hash_map and b <= c:
                if a == b == c:
                    count += hash_map[a] * (hash_map[a] - 1) * (hash_map[a] - 2) // 6
                elif a == b:
                    count += hash_map[c] * hash_map[a] * (hash_map[a] - 1) // 2
                elif a == c:
                    count += hash_map[b] * hash_map[a] * (hash_map[a] - 1) // 2
                elif b == c:
                    count += hash_map[a] * hash_map[b] * (hash_map[b] - 1) // 2
                else:
                    count += hash_map[a] * hash_map[b] * hash_map[c]
    return count

性能

• 时间复杂度：O（N^2）
• 空间复杂度：O（N）（哈希表的大小为N）