具有奇数和的数组中的三元组数

在一个整数数组中，要求找出所有的三元组，使得它们的和是奇数。本文将介绍两种不同的方法来解决这个问题。

方法一：暴力法

暴力法是最简单直接的方法，即通过三个嵌套的循环枚举所有可能的三元组，判断其和是否为奇数。时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(1)$。

以下是使用 Python 代码实现此方法的示例：

def odd_three_sum(arr):
    count = 0
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i + 1, len(arr)):
            for k in range(j + 1, len(arr)):
                if (arr[i] + arr[j] + arr[k]) % 2 == 1:
                    count += 1
    return count

方法二：使用数学思想

通过数学思想，我们可以将该问题转化为一个更加简单的问题。我们可以将数组中的所有元素分为两类：奇数和偶数。我们可以发现，对于任意两个奇数和一个偶数的三元组，其和一定是奇数。同理，对于任意两个偶数和一个奇数的三元组，其和也一定是奇数。因此，我们只需要统计出数组中奇数元素的个数 $odd$ 和偶数元素的个数 $even$，然后分别计算出由三个奇数组成的三元组数为 $odd \cdot (odd-1) \cdot (odd-2) / 6$，由两个奇数和一个偶数组成的三元组数为 $odd \cdot even \cdot (even-1) / 2$，以及由三个偶数组成的三元组数为 $even \cdot (even-1) \cdot (even-2) / 6$。最终，三者相加即为所求。时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

以下是使用 Python 代码实现此方法的示例：

def odd_three_sum(arr):
    odd = sum(x % 2 == 1 for x in arr)
    even = len(arr) - odd
    return odd * (odd - 1) * (odd - 2) // 6 + odd * even * (even - 1) // 2 + even * (even - 1) * (even - 2) // 6

结论

虽然两种方法的时间复杂度都为 $O(n^3)$，但是方法二的常数要小得多，因此相比于方法一，方法二更加高效。同时，方法二也更加直观和优雅，具有更好的可读性和可维护性。因此，在实际应用中，我们应该尽量使用基于数学思想的方法来解决问题。