📅 最后修改于: 2023-12-03 15:39:01.430000 🧑 作者: Mango
本文将介绍XOR（异或）运算以及如何使用它来解决一个有趣的算法问题：给定一个数组，找到拥有指定范围内元素异或和的所有子数组。这个问题比较具有挑战性，但有趣的是，在解决这个问题时，我们可以学习和练习很多和数组和位运算相关的技术。
异或运算是一种常用的位运算。它通常用符号“^”表示：
a ^ b
表示将 a 和 b 的每个二进制位进行异或运算，得到一个新的二进制数。异或运算的规则如下：
例如，下面是两个整数进行异或运算的示例：
a = 1011
b = 0010
a ^ b = 1001
问题定义：给定一个整数数组 nums，以及两个整数 l 和 r，找到 nums 的所有子数组，使得该子数组中所有元素的异或和在区间 [l, r] 内。
为了更好地解决这个问题，我们可以先将一个子数组的异或和和整个数组的异或和联系起来。一个子数组的异或和可以通过对整个数组的异或和进行相应的操作得到：
整个数组的异或和 ^ 每个位置的前缀异或和 ^ 每个位置的后缀异或和
其中，前缀异或和是指从数组开头到当前位置的所有元素的异或和，后缀异或和是指从数组结尾到当前位置的所有元素的异或和（两个前缀/后缀异或和可以通过进行异或操作得到）。
然后，我们可以使用双重循环来遍历所有子数组，并计算它们的异或和。如果某个子数组的异或和在给定的区间 [l, r] 内，则将该子数组加入到结果列表中。
这个算法的时间复杂度为 O(n^3)，空间复杂度为 O(1)，因为我们只需要记录当前子数组的左右下标和异或和。下面是这个算法的 Python 实现：
def xor_subarray(nums, l, r):
res = []
xor_all = 0
n = len(nums)
for i in range(n):
xor_all ^= nums[i]
xor_left = 0
for j in range(i, n):
xor_left ^= nums[j]
if l <= xor_all ^ xor_left <= r:
res.append(nums[i:j+1])
return res
上面的算法虽然正确，但时间复杂度太高了，无法处理大规模的输入。我们需要更有效的方法来解决这个问题。在本节中，我们将介绍两种优化算法。
为了避免在每次循环中重新计算前缀/后缀异或和，我们可以使用哈希表来存储前缀异或和。具体来说，我们需要一个名为 prefix 的哈希表，其中 prefix[k] 表示从数组开头到当前位置 k 的子数组的异或和。同时，我们需要另外两个变量 left 和 right，它们分别表示当前子数组的左右下标。
算法的关键点是如何更新 prefix 和 left / right。在遍历数组的过程中，我们首先计算出当前的前缀异或和 xor_left，然后在哈希表 prefix 中查找是否有一个前缀异或和 prefix[k]，使得 l <= prefix[k] ^ xor_left <= r。如果存在这样的前缀异或和，那么这意味着从位置 k + 1 到当前位置 (i) 的子数组满足要求，因此我们将 left 设置为 k + 1，并将右端点从 left 到 i 的子数组加入到结果列表中。
时间复杂度：O(nlogn) 空间复杂度：O(n)
下面是这个算法的 Python 实现：
def xor_subarray(nums, l, r):
res = []
prefix = {0: -1}
xor_all = 0
n = len(nums)
left = 0
for i in range(n):
xor_all ^= nums[i]
if xor_all ^ l in prefix:
j = prefix[xor_all ^ l] + 1
while j <= i:
xor_left = xor_all ^ prefix[j]
if l <= xor_left <= r:
res.append(nums[j:i+1])
j += 1
left = i + 1
prefix[xor_all] = i
return res
我们可以使用树形结构来存储前缀异或和，从而减少前缀异或和的哈希查找时间。
我们可以使用 Trie 树来存储前缀异或和。Trie 树是一种有序树，它满足以下性质：
下面是前缀异或和 3，5，6 和 10 对应的 Trie 树的示例：
o
/ | \
1 2 3
| \
o o
| | \
4 5 6
|
o
|
7
算法的关键步骤是如何将当前前缀异或和插入到 Trie 树中。具体来说，我们需要从根节点开始，按位遍历当前前缀异或和的二进制编码，如果某一位上的值为 0，则向左子树前进，否则向右子树前进。同时，我们需要在更新 Trie 树的途中，找到是否存在一个前缀异或和，它与当前前缀异或和的异或值在区间内。具体来说，在 Trie 树中查找是否存在一个前缀异或和，使得该前缀异或和的值 xor_k 满足 l <= xor_k <= r。如果存在这样的前缀异或和，那么我们需要将当前子数组从该前缀异或和的下一个节点到当前节点作为一个合法的子数组添加到结果列表中。
时间复杂度：O(nlogW) 空间复杂度：O(nlogW)
其中 W 表示数组元素的最大值。
下面是这个算法的 Python 实现：
class TrieNode:
def __init__(self):
self.is_end = False
self.children = {}
class Trie:
def __init__(self):
self.root = TrieNode()
def insert(self, num):
node = self.root
for i in range(31, -1, -1):
shift = 1 << i
bit = (num & shift) >> i
if bit not in node.children:
node.children[bit] = TrieNode()
node = node.children[bit]
node.is_end = True
def search(self, num, l, r):
node = self.root
xor_all = 0
for i in range(31, -1, -1):
shift = 1 << i
bit = (num & shift) >> i
if (bit == 0 and 1 in node.children) or (bit == 1 and 0 in node.children):
node = node.children[1 - bit]
xor_all |= shift
else:
node = node.children[bit]
if node.is_end:
if l <= xor_all <= r:
return node
return None
def xor_subarray(nums, l, r):
res = []
trie = Trie()
trie.insert(0)
xor_all = 0
n = len(nums)
for i in range(n):
xor_all ^= nums[i]
node = trie.search(xor_all, l, r)
if node:
for path in node_paths(node):
res.append(path)
trie.insert(xor_all)
return res
def node_paths(node):
res = []
stack = [(node, [])]
while stack:
node, path = stack.pop()
if node.is_end:
res.append(path)
for bit, child in node.children.items():
stack.append((child, path + [bit]))
return [[int(x) for x in path] for path in res]
本文介绍了如何使用异或运算和 Trie 树来解决一个有趣的算法问题：找到一个数组中所有子数组，使得该子数组的异或和在指定的范围内。我们通过分析子数组的异或和和整个数组的异或和的关系，设计了两个优化算法，分别使用哈希表和 Trie 树来快速寻找符合要求的子数组。这些技术在处理大规模输入的计算机程序中都是比较有用的。