找出对(a，b)使得Aa + Bb = N

这是一个求解线性同余方程的问题。具体来说，我们需要找到一组整数 $(a, b)$，使得 $Aa+Bb=N$，其中 $A,B,N$ 是已知的整数。

解法

辗转相除法

首先，我们可以使用辗转相除法求出 $A,B$ 的最大公约数 $d$，然后检查 $d$ 是否整除 $N$。若不整除，则无解，否则继续进行下一步。

接下来，我们可以使用扩展欧几里得算法求出 $A,B$ 的一组特解 $(x_0, y_0)$，以及它们的公因数 $d$。具体来说，我们可以从最后一次递归的返回值开始倒退，依次计算出 $x_i$ 和 $y_i$；而 $x_0$ 和 $y_0$ 就是我们要找的特解。

注意到 $Ax_0+By_0=d$，我们可以推导出一般解 $(x, y) = (x_0+\dfrac{kB}{d}, y_0-\dfrac{kA}{d})$，其中 $k$ 为任意整数。因此，当 $N$ 能整除 $d$ 时，我们可以将一般解中的 $x_0$ 和 $y_0$ 代入 $N=Ax+Bx$，求出满足 $N$ 的 $(a, b)$。

线性同余方程

还有一种做法是使用线性同余方程的通解。

当 $A,B$ 互质时，我们可以使用费马小定理求出 $B^{-1}$，然后将等式两边同时乘上 $A^{-1}$ 和 $B^{-1}$，得到 $a=A^{-1}N\bmod B$ 和 $b=B^{-1}N\bmod A$。

当 $A,B$ 不互质时，我们可以将其分解为 $A=kd$ 和 $B=ld$，其中 $d=\operatorname{gcd}(A,B)$，$k,l$ 互质。然后，我们可以将等式两边同时除以 $d$，得到 $a'k+b'l=\dfrac{N}{d}$。此时，我们就转化为了求解 $a'k+b'l=\operatorname{gcd}(k,l)$ 的问题，其中 $a'$ 和 $b'$ 是 $\dfrac{N}{d}$ 的因数。根据扩展欧几里得算法的解法，我们可以求解出 $k,l$ 的一组通解 $(k_0+l_0)$ 和 $(k_1+l_1)$。最终解为 $a=k_0a'N/d+l_0b'N/d$ 和 $b=k_1a'N/d+l_1b'N/d$。

示例代码

以下是一个简单的 Python 代码片段，展示了如何使用辗转相除法和扩展欧几里得算法求解 $Aa+Bb=N$。

def gcd(a, b):
    return a if b == 0 else gcd(b, a % b)

def exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return (1, 0, a)
    x, y, d = exgcd(b, a % b)
    return (y, x - a // b * y, d)

def solve_linear_equation(a, b, c):
    d = gcd(a, b)
    if c % d != 0:
        return None
    x0, y0, d = exgcd(a, b)
    return (x0 * c // d, y0 * c // d)

如果你感兴趣的话，可以尝试在上面的代码基础上实现线性同余方程的解法。