找出两个整数 A 和 B，使得 A ^ N = A + N 和 B ^ N = B + N

题目描述：

找出两个整数 A 和 B，使得 A ^ N = A + N 和 B ^ N = B + N

解题思路：

根据题目可知，需要求出 A 和 B 的值，满足 A ^ N = A + N 和 B ^ N = B + N。

首先，我们可以将 A + N 和 B + N 同时移项，得到 A ^ N - A = N 和 B ^ N - B = N。然后我们观察这两个式子，发现它们都可以表示成形如 x ^ N - x 的形式，而这个式子可以被化简为 x * (x ^ (N - 1) - 1)，因此我们可以尝试将其转化为这种形式。

我们考虑将 N - 1 的二进制表示中的最高位（即最左边的位）设为 1，其余位均为 0，得到一个数 M。这个数的值为 2 ^ (k - 1)，其中 k 是 N - 1 的二进制表示中的位数。

我们发现，对于任意一个非负整数 x，有 x ^ M - x 一定能够被 M 整除。这是因为，如果将 x 的二进制表示中的最高位（即最左边的位）以外的其他位全部取反，再将最高位取反（即取反前面所得到的数），得到的数 y 满足 x ^ M = x ^ y。而 y 的值是 M 的补码表示（即将 M 的二进制表示中的所有位取反再加 1 所得到的值），因此有 x ^ M = x ^ (y + M)，即 x ^ M - x = x ^ (y + M) - x，而 x ^ (y + M) - x 一定能够被 M 整除。这是因为，对于任意一个非负整数 z，有 z + M 的二进制表示中的最高位一定是 1（因为 M 的二进制表示中最高位为 1），因此其和 x 的二进制表示中的最高位相同，即它们的值除以 M 的余数相同。这个余数可以用 z & (M - 1) 得到（因为 M - 1 的值的二进制表示中，除了最高位外，其余位均为 1）。因此，x ^ (y + M) - x 能够被 M 整除。

因此，我们可以依次枚举 N 的所有二进制位，对于每个二进制位，如果它是 1，则令 x = A 或 B，计算 x ^ M - x 的值，如果它等于 N，则说明找到了一个符合条件的解。如果同时找到了两个符合条件的解，则直接输出。

代码实现：

def find_two_numbers(N: int) -> Tuple[int, int]:
    M = 0
    k = 0
    while N > 0:
        M |= 1 << k
        N >>= 1
        k += 1
    A, B = None, None
    for x in [A, B]:
        if x is None:
            continue
        y = x ^ M
        if x ^ y == N:
            if A is None:
                A = x
            elif B is None:
                B = x
                break
    return A, B

该函数的时间复杂度为 O(log N)，空间复杂度为 O(1)。