计算GCD等于给定数的集合的子集数

有一个集合S，其中包含n个元素，现在我们需要计算其中有多少个子集的GCD等于给定数x。这是一个很经典的数学问题，在数论中有着很重要的应用。

算法思路

我们可以借助数论中的一些知识来解决这个问题。GCD的性质告诉我们，如果一个集合中的所有元素都能够整除x，那么它们的GCD一定也能够整除x。因此，我们可以将集合S中的所有元素按照它们是否能够整除x分类，分别计算每一类元素的子集GCD，最后将它们加起来即可。

具体来说，我们可以枚举S中所有元素，对于每一个元素i，我们可以将S划分为两个集合，一个是不包含i的集合S'，另一个是包含i的集合S''。那么S'中所有子集的GCD已经计算出来了，现在我们需要计算S''中所有子集的GCD，并将它们加起来。

我们可以使用动态规划来实现这个算法。我们用dp[i][j]表示集合S'中前i个元素中，GCD等于j的子集个数。状态转移方程如下：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][gcd(j, a[i])]

其中a[i]表示集合S中第i个元素的值。这个状态转移方程的含义是，对于当前这个元素i，它可以选择在S''中，也可以选择在S'中。如果它选择在S''中，那么它就可以贡献出一个gcd(j, a[i])，这个新的gcd的出现次数是dp[i-1][gcd(j, a[i])]个。如果它选择在S'中，那么它对于gcd(j, a[i])的出现次数就没有任何贡献了，这种情况对应的是dp[i-1][j]。

最后，我们将所有dp[n][j]相加，其中n是集合S中元素的个数，就得到了所有子集中GCD等于x的个数。

代码实现

下面是用Python实现的代码，其中需要注意的一点是，为了避免重复计算，我们将所有满足a[i]%x==0的元素都放到了集合S'中。

def count_gcd_sets(S, x):
    n = len(S)
    ss = []
    for i in range(n):
        if S[i] % x != 0:
            ss.append(S[i])
    m = len(ss)
    dp = [[0]*(x+1) for _ in range(m+1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, m+1):
        dp[i][ss[i-1]%x] += 1
        for j in range(x+1):
            dp[i][j] += dp[i-1][j]
            dp[i][gcd(j, ss[i-1])] += dp[i-1][j]
    return dp[m][x]

以上代码虽然只有Python实现，但是经过简单的修改，可以很容易地转化为其他语言的代码片段。