身份矩阵的 PHP 程序

介绍

身份矩阵是一个方阵，它的对角线上的元素都是1，其他元素都是0。在线性代数中身份矩阵也叫单位矩阵，用I表示，大小为n×n，称为n阶单位矩阵。

在数学中，身份矩阵是很常用的矩阵之一，PHP 也支持通过二维数组定义身份矩阵，并且可以使用矩阵的运算等功能。

本文将介绍如何在 PHP 中定义一个身份矩阵，并进行一些基本运算。

定义

我们可以使用二维数组定义一个身份矩阵。

<?php 

$n = 4; // n阶矩阵
$I = [];
for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
    for ($j = 0; $j < $n; $j++) {
        if ($i == $j) {
            $I[$i][$j] = 1; // 对角线上的元素为1
        } else {
            $I[$i][$j] = 0; // 其他元素为0
        }
    }
}

print_r($I)

?>

这段代码会输出一个4阶身份矩阵，如下所示：

Array
(
    [0] => Array
        (
            [0] => 1
            [1] => 0
            [2] => 0
            [3] => 0
        )

    [1] => Array
        (
            [0] => 0
            [1] => 1
            [2] => 0
            [3] => 0
        )

    [2] => Array
        (
            [0] => 0
            [1] => 0
            [2] => 1
            [3] => 0
        )

    [3] => Array
        (
            [0] => 0
            [1] => 0
            [2] => 0
            [3] => 1
        )

)

运算

矩阵的乘法

身份矩阵与一个矩阵相乘，结果将是原矩阵本身，因为矩阵与单位矩阵相乘相当于没有进行任何运算。

<?php

// 定义一个3x3的矩阵
$A = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9],
];

// 定义一个3阶单位矩阵
$I = [
    [1, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [0, 0, 1]
];

// 矩阵乘法
$C = [];
for ($i = 0; $i < 3; $i++) {
    for ($j = 0; $j < 3; $j++) {
        $sum = 0;
        for ($k = 0; $k < 3; $k++) {
            $sum += $A[$i][$k] * $I[$k][$j];
        }
        $C[$i][$j] = $sum;
    }
}

print_r($C);

?>

这段代码会输出原矩阵A：

Array
(
    [0] => Array
        (
            [0] => 1
            [1] => 2
            [2] => 3
        )
    [1] => Array
        (
            [0] => 4
            [1] => 5
            [2] => 6
        )
    [2] => Array
        (
            [0] => 7
            [1] => 8
            [2] => 9
        )
)

矩阵的加法和减法

在 PHP 中，矩阵的加法和减法很简单，只需要对应位置的元素进行加减即可。

<?php

$A = [
    [1, 2],
    [3, 4]
];

$B = [
    [5, 6],
    [7, 8]
];

// 矩阵加法
$C = [];
for ($i = 0; $i < 2; $i++) {
    for ($j = 0; $j < 2; $j++) {
        $C[$i][$j] = $A[$i][$j] + $B[$i][$j];
    }
}

print_r($C);

// 矩阵减法
$D = [];
for ($i = 0; $i < 2; $i++) {
    for ($j = 0; $j < 2; $j++) {
        $D[$i][$j] = $A[$i][$j] - $B[$i][$j];
    }
}

print_r($D);

?>

这段代码会分别输出矩阵加法和减法的结果：

Array
(
    [0] => Array
        (
            [0] => 6
            [1] => 8
        )
    [1] => Array
        (
            [0] => 10
            [1] => 12
        )
)
Array
(
    [0] => Array
        (
            [0] => -4
            [1] => -4
        )
    [1] => Array
        (
            [0] => -4
            [1] => -4
        )
)

总结

身份矩阵在数学和编程领域都是非常重要的，特别是在线性代数中更是如此。PHP 支持矩阵的运算，并且可以定义身份矩阵，这对于需要进行科学计算的 PHP 程序员来说是非常重要的。希望这篇文章可以帮助您更好地了解 PHP 中身份矩阵的定义和运算。