提到有理数的交换性、结合性和分布性。
数系包括不同类型的数，例如质数、奇数、偶数、有理数、整数等。这些数可以相应地以数字和文字的形式表示。例如，40、65等以数字形式表示的数字，也可以写成40、65。
A Number system or numeral system is defined as elementary system to express numbers and figures. It is the unique way of representation of numbers in arithmetic and algebraic structure.
数字用于各种算术值，适用于执行各种算术运算，如加法、减法、乘法等，这些运算适用于日常生活中的计算目的。数字的值由数字、它在数字中的位置值以及数字系统的基数决定。
Numbers generally are also known as numerals are the mathematical values used for counting, measurements, labeling, and measuring fundamental quantities.
数字是用于测量或计算数量的数学值或数字。它用数字表示为 2、4、7 等。数字的一些例子是整数、整数、自然数、有理数和无理数等。
数字类型
有不同类型的数字被实数系统分类为集合。类型描述如下：
- 自然数：自然数是从 1 到无穷大的正数。自然数集由'N'表示。这是我们通常用于计数的数字。自然数集可以表示为 N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…
- 整数：整数是包括零在内的正数，从 0 计数到无穷大。整数不包括分数或小数。整数集由“W”表示。该集合可以表示为 W = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…
- 整数：整数是一组数字，包括所有正数、零以及从负无穷到正无穷的所有负数。该集合不包括分数和小数。整数集由'Z'表示。整数集可以表示为 Z = .....,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...
- 十进制数：任何由小数点组成的数值都是十进制数。可表示为 2.5、0.567 等。
- 实数：实数是不包含任何虚值的集合数。它包括所有正整数、负整数、分数和十进制值。它通常用“R”表示。
- 复数：复数是一组包含虚数的数字。它可以表示为 a+bi，其中“a”和“b”是实数。它用“C”表示。
- 有理数：有理数是可以表示为两个整数之比的数。它包括所有整数，可以用分数或小数表示。它用“Q”表示。
- 无理数：无理数是不能用分数或整数比表示的数字。它可以写成小数，小数点后有无穷无尽的不重复数字。它用“P”表示。
什么是有理数？
有理数的形式为 p/q，其中 p 和 q 是整数，q ≠ 0。由于数字的基本结构，p/q 形式，大多数人发现很难区分分数和有理数。
当一个有理数被除法时，输出是十进制形式，可以是结束也可以是重复的。 3、4、5 等是有理数的一些示例，因为它们可以用分数形式表示为 3/1、4/1 和 5/1。
有理数的性质
数字的主要属性是：
- 关闭属性
- 交换性质
- 关联属性
- 分配财产
- 标识元素属性
- 逆元性质
闭包属性
在实数的这个性质中，我们可以将任意两个实数相加或相乘，这也将产生一个实数。
Example:
2 + 5 = 7 and 80 + 40 = 120 for addition
6 × 5 = 30 for multiplication
交换性质
它指出，数字的加法或乘法运算与顺序无关，即使交换或反转它们的位置，它也会给我们相同的结果。
或者我们可以说加法或乘法的位置可以改变，但会得到相同的结果。
该属性对加法和乘法有效，对减法和除法无效。
x + y = y + x or x.y = y.x
Example:
If we add 6 in 2 or add 2 in 6 results will be same If we multiply both the real number
7 + 2 = 9 = 2 + 7 7 × 5 = 35 = 5 × 7
关联属性
该属性表明，当三个或更多数字相加（或相乘）或总和（或乘积）相同时，无论加数（或被乘数）的分组如何。
只要不改变数字的顺序，执行操作的加法或乘法顺序无关紧要。这被定义为关联属性。
也就是说，以不会改变其值的方式重新排列数字。
(x + y) + z = x + (y + z) and (x.y).z = x.(y.z)
Example: (8 + 5) + 6 = 8 + (5 + 6) (8 × 5) × 6 = 8 × (5 × 6)
19 = 19 240 = 240
As you can see even after changing their order, it gives the same result in both the operations adding as well as multiplication.
分配财产
这个属性帮助我们简化数字乘以和或差的过程。它分布表达式，因为它简化了计算。
x × (y + z) = x × y + x × z and x × (y – z) = x × y – x × z
Example:
Simplify 20 × (5 + 6)
= 20 × 5 + 20 × 6
= 100 + 120
= 220
It applies same for the subtraction also.
标识元素属性
这是一个元素，当与它们组合时，其他元素保持不变。加法运算的单位元为 0，乘法的单位元为 1。
对于加法，a + 0 = a 和对于乘法 a.0 = 0
Example:
For addition, if a = 6
a + 0 = 6 + 0 = 6
and for multiplication if a = 6
a.0 = 6.0 = 0
逆元
数字“a”的倒数，用1/a 表示，是一个数字，当它乘以“a”时，得到乘法恒等式1 。
The multiplicative inverse of a fraction: a/b is b/a
数字“a”的加法逆是当添加到“a”时，结果为零的数字。这个数字也称为加法逆或相反（数字）、符号变化和否定。
或者我们可以说，对于一个实数，它将其符号从正数反转为负数，将负数反转为正数。零本身就是加法逆。
Example: Reciprocal of 9 is 1/9 and the additive inverse of 9 is -9
提到有理数的交换律、结合律和分配律。此外，检查 a × b = b × a 和 a + b = b + a 对于 a = ½ 和 b = ¾
解决方案：
As we have explained above all the properties of Rational number which also include commutativity, associative and distributive properties
so as per the question we have the value of a = 1/2 and b = 3/4
Therefore
As per the commutativity property: It states that the operation of addition or multiplication on the number does not matter what is the order, it will give us the same result even after swapping or reversing their position.
a + b = b + a or a.b = b.a
Now we have a = 1/2 and b = 3/4
so 1/2 + 3/4 = 3/4 + 1/2 or 1/2 . 3/4 = 3/4 . 1/2
5/4 = 5/4 3/8 = 3/8
Hence proved
类似问题
问题 1：a = 1/2 和 b = 3/4 和 c = 2/3 的值相同，证明结合属性？
解决方案：
As per the associative property
This property states that when three or more numbers are added (or multiplied) or the sum(or product) is the same regardless of the grouping of the addends (or multiplicands).
The addition or multiplication in which order the operations are performed does not matter as long as the sequence of the numbers is not changed. This is defined as the associative property.
(a + b) + c = a + (b + c) and (a.b).c = a.(b.c)
Now we have a = 1/2 and b = 3/4 and c = 2/3
(1/2 + 3/4 ) + 2/3 = 1/2 + (3/4 + 2/3) or (1/2 . 3/4 ). 2/3 = 1/2 . (3/4 . 2/3)
5/4 + 2/3 = 1/2 + 17/12 3/8 . 2/3 = 1/2 . 2/4
23/12 = 23/12 2/8 = 2/8
1/4 = 1/4
Hence Proved
问题 2：a = 1/2 和 b = 3/4 和 c = 2/3 的值相同，证明分配性？
解决方案：
As per the distributive property
This property helps us to simplify the multiplication of a number by a sum or difference. It distributes the expression as it simplifies the calculation.
a × (b + c) = a × b + a × c and a × (b – c) = a × b – a × c
Now we have a = 1/2 and b = 3/4 and c = 2/3
1/2 × ( 3/4 + 2/3 ) = (1/2 × 3/4) + (1/2 × 2/3) and 1/2 × (3/4 – 2/3) = 1/2 × 3/4 – 1/2 × 2/3
1/2 × 17/12 = 3/8 + 2/6 1/2 × 1/12 = 3/8 – 2/6
17/24 = 17/24 1/24 = 1/24
Hence proved