最小围圈设置2 - 韦尔兹(Welzl)的算法

最小围圈设置问题是指如何找到一个圆形，使其包含给定点集中的每个点，同时尽可能地小。韦尔兹算法是解决该问题的一种随机化增量算法，时间复杂度为O(n)。

算法介绍

韦尔兹算法的基本思路是，从一个没有点的圆形开始，每次随机选择一个尚未被包含的点，将其加入到圆内或者把圆扩大，直到包含了所有点。在扩展过程中，我们可以保证，任何时刻，圆内的点都是固定的，而圆的半径和中心点都可以在已经选择的点的基础上逐步确定，从而得到一个最小围圈。

算法实现

数据结构

我们首先定义一个 Circle 类来表示圆形，在该类中，我们需要存储圆心的坐标 x 和 y，以及圆的半径 r。

class Circle:
    def __init__(self, x=0, y=0, r=0):
        self.x = x
        self.y = y
        self.r = r

我们还需要定义一个 Point 类来表示点，在该类中，我们需要存储点的坐标 x 和 y。

class Point:
    def __init__(self, x=0, y=0):
        self.x = x
        self.y = y

随机增量算法

在韦尔兹算法中，我们需要实现一个递归函数 min_circle 来求解最小围圈。该函数的输入参数是一个点集 P 和一个已经找到的最小圆形 C。在函数内部，我们会不断选择一个尚未被包含的点 p，然后根据其与圆形 C 的关系，选择把 p 加入到 C 中，或者将 C 扩展。最终，当所有点都被包含在圆形 C 中时，递归结束，返回最小圆形 C。

import random

def min_circle(points):
    # 随机化点集
    random.shuffle(points)
    # 初始化圆
    C = None
    for i, p in enumerate(points):
        if C is None or not is_inside(C, p):
            # 当前点不在圆内，将其加入到圆中
            C = Circle(p.x, p.y, 0)
            for j in range(i):
                if not is_inside(C, points[j]):
                    # 增加第二个点
                    C = Circle((p.x + points[j].x) / 2, (p.y + points[j].y) / 2, distance(p, points[j]) / 2)
                    for k in range(j): 
                        if not is_inside(C, points[k]):
                            # 增加第三个点
                            C = circum_circle(p, points[j], points[k])
    return C

在函数内部，我们首先进行随机化，打乱点集中的顺序，防止算法过度依赖输入顺序而使时间复杂度退化。然后，我们根据输入的已知最小圆形 C 来决定如何处理当前点 p。如果 p 在圆内，则 C 仍然是最小圆形；否则，我们需要重新定义一个圆形 C 来包含当前点 p。如果已经找到超过三个点，我们还需要判断是否存在更小的围圈，以此来更新圆形 C。

判断点是否在圆内

为了判断点 p 是否在圆形 C 内，我们可以计算出 p 到圆心的距离 d，如果 d <= C.r，即说明点 p 在圆形 C 内。

def is_inside(circle, point):
    return ((point.x - circle.x) ** 2 + (point.y - circle.y) ** 2) <= circle.r ** 2

计算圆形的外接圆

当我们已经找到三个点 p1、p2 和 p3，并判断出它们不能被包含在同一个圆形内时，我们需要计算它们的外接圆，从而求解最小围圈。

外接圆可以通过计算三点形成的三角形的外接圆来得到。我们可以分别计算三点之间的距离，然后使用海龙公式计算出面积和半周长，最终得到外接圆的半径和圆心的坐标。

def circum_circle(p1, p2, p3):
    # 计算三边的长度
    a = distance(p1, p2)
    b = distance(p2, p3)
    c = distance(p3, p1)
    # 计算三角形面积
    s = (a + b + c) / 2
    area = (s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) ** 0.5
    # 计算外接圆半径
    r = a * b * c / (4 * area)
    # 计算圆心坐标
    cx = (p1.x + p2.x + p3.x) / 3
    cy = (p1.y + p2.y + p3.y) / 3
    return Circle(cx, cy, r)

def distance(p1, p2):
    return ((p1.x - p2.x) ** 2 + (p1.y - p2.y) ** 2) ** 0.5

总结和拓展

韦尔兹算法是解决最小围圈设置问题的有效算法之一，它具有时间复杂度低、易于实现、随机化等优点。同时，在实际应用中，我们也可以使用其他算法来解决该问题，例如旋转卡壳算法、Graham 算法等。

以上便是本文对于最小围圈设置2 - 韦尔兹(Welzl)的算法的介绍，希望能对广大程序员有所帮助。