门|门 IT 2005 |问题 13

这是关于"门|门 IT 2005 |问题 13"的介绍，该问题的主要内容包括以下几个方面：

问题描述

提供一个长度为n的数组a，找出所有满足条件的二元组(i, j)，其中i < j且a[i] > a[j]。例如，对于数组a=[5, 3, 7, 6, 8, 1, 4, 2]，有以下满足条件的二元组：

(1, 2), (1, 6), (1, 8), (2, 8), (3, 4), (3, 7), (4, 8), (5, 6), (5, 7)

解决方案

方法一：暴力枚举

我们可以使用双重循环遍历所有可能的二元组，并判断是否满足条件，时间复杂度为O(n^2)。代码如下：

def find_pairs(a):
    pairs = []
    n = len(a)
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if a[i] > a[j]:
                pairs.append((i, j))
    return pairs

方法二：归并排序

我们可以使用归并排序对数组a进行排序，并在归并操作时统计逆序对的数量，那么满足条件的二元组数量就是逆序对数量。时间复杂度为O(nlogn)。代码如下：

def merge_sort(a):
    cnt = 0
    n = len(a)
    if n == 1:
        return a, cnt
    mid = n // 2
    left, cnt1 = merge_sort(a[:mid])
    right, cnt2 = merge_sort(a[mid:])
    cnt += cnt1 + cnt2
    i, j = 0, 0
    res = []
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            res.append(left[i])
            i += 1
        else:
            res.append(right[j])
            j += 1
            cnt += len(left) - i
    
    res += left[i:]
    res += right[j:]
    return res, cnt

def find_pairs(a):
    _, cnt = merge_sort(a)
    return cnt

方法三：树状数组

我们可以使用树状数组（BIT）来维护逆序对的数量，时间复杂度为O(nlogn)。代码如下：

class BIT:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.tree = [0] * (n+1)
    
    def lowbit(self, x):
        return x & -x
    
    def update(self, i, val):
        while i <= self.n:
            self.tree[i] += val
            i += self.lowbit(i)
    
    def query(self, i):
        res = 0
        while i > 0:
            res += self.tree[i]
            i -= self.lowbit(i)
        return res
    
def find_pairs(a):
    n = len(a)
    bit = BIT(n)
    res = 0
    for i in range(n):
        res += i - bit.query(a[i])
        bit.update(a[i], 1)
    return res

总结

本文介绍了三种不同的解决方法来解决"门|门 IT 2005 |问题 13"。方法一是暴力枚举，时间复杂度为O(n^2)。方法二和方法三都可以达到O(nlogn)的时间复杂度，其中方法二使用归并排序，方法三使用树状数组。具体选取哪种方法取决于实际情况，可以根据数据规模选择不同的算法。