门|门 IT 2005 |问题 3

这道题目是一道计算机科学中的算法问题。给定一个字符串，要求找出其中的最长回文子串（palindromic substring），即正读和反读都相同的子串，返回该子串。

思路

一种比较常见的解法是使用动态规划。设 $P(i,j)$ 为字符串从 $i$ 到 $j$ 的子串是否为回文串，如果是，返回 true，否则返回 false。则有以下三种情况：

1. 当 $i=j$ 时，$P(i,j)=true$，即长度为 1 的子串为回文串；
2. 当 $j=i+1$ 时，$P(i,j)=s_i==s_j$，即长度为 2 的子串为回文串当且仅当两个字符相等；
3. 当 $j>i+1$ 时，$P(i,j)=P(i+1,j-1) \wedge (s_i==s_j)$，即长度大于 2 的子串为回文串当且仅当去掉两端的字符后剩余的子串为回文串且两端的字符相等。

具体实现时可以使用一个二维数组来存储 $P$ 值，然后在计算 $P$ 值时，按照上述三种情况逐步计算即可。

代码示例

以下是使用 Python 实现的示例代码：

def longest_palindrome_substring(s: str) -> str:
    n = len(s)
    P = [[False] * n for _ in range(n)]
    max_len = 0
    start = 0
    for i in range(n):
        P[i][i] = True
        if i < n - 1 and s[i] == s[i+1]:
            P[i][i+1] = True
            max_len = 2
            start = i
    for k in range(3, n+1):
        for i in range(n-k+1):
            j = i + k - 1
            if P[i+1][j-1] and s[i] == s[j]:
                P[i][j] = True
                max_len = k
                start = i
    return s[start:start+max_len]

这个函数接受一个字符串作为参数，返回该字符串中的最长回文子串。时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。使用时可以按照以下方式调用：

s = "babad"
print(longest_palindrome_substring(s)) # 输出 "bab"