问题：给定一个地面集合X ，一个整数k以及X的子集S i的集合，问题是要确定是否存在一个集合的集合，这些子集的联合为X，且大小最大为k 。
证明：问题的一个实例是为问题指定的输入。集覆盖问题的一个实例是地面集X，整数k和由X组成的子集Si的集合。根据定义，由于NP完全问题既是NP又是NP-Hard的问题，因此证明问题为NP-Complete的证明或陈述包括两部分：
- 问题本身就是NP-Complete。
- NP类中的所有其他问题都可以用多项式时间简化。 (B可乘以C的倍数)。
如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard。但是不可能始终将每个NP问题都简化为另一个NP问题以显示其NP完整性。这就是为什么如果我们要证明一个问题是NP完全的，请证明该问题在NP中，并且任何NP-Complete问题都可以解决。因此，可以使用以下命题来验证集合覆盖问题是NP-Complete：
- 集封面是NP：如果有任何问题是NP，然后给出一个“证书”，这是解决问题的办法和问题(子集的集合，大小为k C)的情况下，我们将能够在多项式时间内识别(解决方案是否正确)证书。这可以通过以下方式完成：
提供大小为k的子集的集合C ，我们可以遍历集合子集中的每个元素并标记X中被覆盖的元素。最后，X中不应包含任何元素。
相对于X中子集的数量，这需要多项式时间。因此，Set Cover在NP中。 - 集覆盖为NP-Hard：为了证明集覆盖为NP Hard，我们将从已知的NP-Hard问题(即顶点覆盖到集覆盖问题)进行简化，对于顶点覆盖问题，我们将其作为输入图G =(V，E)和整数k。现在，让地面开始
- X = E，即G中的一组边。
- 子集S u代表每个顶点u V中，包含了边缘入射到u。
现在，以下两个命题成立：
- 让我们考虑k个集合S u1 ，S u2 ……S uk覆盖地面集合X ，然后E中的每个边e都与u1…uk的至少一个顶点相邻，因此形成了大小为k的顶点覆盖。
- 让我们考虑顶点u1…uk形成一个顶点覆盖，然后Su1覆盖入射到u1的所有边。因此，集合S u1 ，S u2 …S uk的集合形成了覆盖X的集合。
结论：
封面是NP和NP-Hard 。因此，设置封面是NP-Complete 。