覆盖图是一个子图，其中包含与某个其他图相对应的所有顶点或所有边。包含所有顶点的子图称为线/边覆盖。包含所有边的子图称为顶点覆盖。

线覆盖

令G =(V，E)为图。如果G的每个顶点都与C中的至少一个边入射，则子集C(E)称为G的线覆盖。

deg(V)≥1∀V∈G

因为每个顶点通过一条边与另一个顶点相连。因此它的最小度为1。

例

看一下下图-

其子图具有线覆盖如下-

C ₁ = {{a，b}，{c，d}}

C ₂ = {{a，d}，{b，c}}

C ₃ = {{a，b}，{b，c}，{b，d}}

C ₄ = {{a，b}，{b，c}，{c，d}}

当且仅当“ G”具有孤立的顶点时，“ G”的线覆盖不存在。具有“ n”个顶点的图形的线覆盖至少具有[n / 2]个边。

最小的线覆盖

如果没有边缘可以从C删除，则覆盖图G的C的线被认为是最小的。

例

在上图中，具有线覆盖的子图如下-

C ₁ = {{a，b}，{c，d}}

C ₂ = {{a，d}，{b，c}}

C ₃ = {{a，b}，{b，c}，{b，d}}

C ₄ = {{a，b}，{b，c}，{c，d}}

在这里，C ₁ ，C ₂ ，C ₃是最小的线覆盖，而C ₄并不是因为我们可以删除{b，c}。

最小线路覆盖

也称为最小最小线路覆盖。具有最小数量的边的最小线覆盖被称为“ G”的最小线覆盖。在“G”的最小线覆盖的边缘的数量被称为覆盖“G”的数_(α1)的行。

例

在上述例子中，C ₁和C ₂是覆盖G的最小线和_α1 = 2。

• 每个线路覆盖都包含一个最小的线路覆盖。

• 每个线覆盖都没有最小线覆盖(C ₃不包含任何最小线覆盖。

• 没有最小的行覆盖范围包含循环。

• 如果覆盖“ C”的线不包含长度为3或更长的路径，则“ C”是最小覆盖的线，因为“ C”的所有成分都是星形图，并且从星形图中无法删除任何边。

顶点覆盖

令’G’=(V，E)为图。如果“ G”的每个边缘都与“ K”中的顶点入射或被其覆盖，则V的子集K称为“ G”的顶点覆盖。

例

看一下下图-

可以从上图得出的子图如下-

K ₁ = {b，c}

K ₂ = {a，b，c}

K ₃ = {b，c，d}

K ₄ = {a，d}

在这里，K ₁ ，K ₂和K ₃具有顶点覆盖，而K ₄由于没有覆盖边缘{bc}而没有任何顶点覆盖。

最小顶点覆盖

如果无法从“ K”删除任何顶点，则将图“ G”的顶点“ K”称为最小顶点覆盖。

例

在上图中，具有顶点覆盖的子图如下-

K ₁ = {b，c}

K ₂ = {a，b，c}

K ₃ = {b，c，d}

在这里，K ₁和K ₂是最小的顶点覆盖，而在K _3中，可以删除顶点“ d”。

最小顶点覆盖

它也被称为最小的最小顶点覆盖。图“ G”的顶点数量最少的最小顶点覆盖称为最小顶点覆盖。

在“G”的最小顶点覆盖顶点的数目被称为覆盖的G数_(α2)的顶点。

例

在下图中，具有顶点覆盖的子图如下：

K ₁ = {b，c}

K ₂ = {a，b，c}

K ₃ = {b，c，d}

此处，K ₁是G的最小顶点覆盖，因为它只有两个顶点。 _α2 = 2。