谜题 37 | (板球最大跑数)

介绍

这是一道有趣的编程谜题，主要考察的是动态规划算法的思路和实现。给定一个板球比赛的得分规则和一个球员的技能系数表，需要计算出该球员能够在最坏情况下最多得到多少分。

规则说明

板球比赛的得分规则如下：

• 当球员敲中一个板球后，可以获得1到6分的分数。
• 如果一个板球未被击中，那么它的分数为0分。
• 每个敲击后，球员必须与对方球员交替上场打球。
• 每个球员只能打一次，直到全部球员都打过一遍后，才算一局结束。
• 全部比赛共进行K局，每局中两个队伍各有M个球员轮流打球。

解题思路

这个问题可以使用动态规划算法来解决。我们定义一个数组dp[i][j]，表示在剩余i个敲击和j个球员时，当前球员在最坏情况下能够得到最多的分数。

由于每个球员只能打一次，所以状态转移方程为：

dp[i][j] = max(score[k] - dp[i - 1][k])，其中k为当前球员敲击板球的得分。

换句话说，如果当前球员敲中了得分为k的板球，则对手球员只能在剩余i-1个敲击和所有其他球员剩余j-1个球员时敲出得分小于k的板球，此时对手球员可以得到的最多分数为dp[i - 1][k]。而当前球员所获得的分数则是k减去对手球员能够得到的分数，也就是score[k] - dp[i - 1][k]。

最终的解就是dp[K*M][M]，表示在全部比赛结束时，剩余K*M个敲击和每个队伍剩余M个球员时，当前球员在最坏情况下能够得到最多的分数。

代码片段

def max_score(scores, m, k):
    """
    :param scores: 一个含有1到6分的列表，表示板球比赛的得分规则
    :param m: 每个队伍中球员的数量
    :param k: 比赛局数
    :return: 当前球员在最坏情况下能够得到的最多分数
    """
    n = len(scores)
    dp = [[0]*(m+1) for _ in range(k*m+1)]
    for i in range(1, k*m+1):
        for j in range(1, m+1):
            for s in scores:
                if i < s or j == 1:
                    dp[i][j] = max(dp[i-s][m-j+1]+s, dp[i][j])
                    # 当前球员敲中得分为s的板球，对手球员只能在剩余i-s个敲击和剩余m-j+1个球员时敲出得分小于s的板球，此时对手球员可以得到的最多分数为dp[i-s][m-j+1]
                    # 当前球员所得分数为s减去对手球员能够得到的分数dp[i-s][m-j+1]
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[s][j-1])
                    # 当板球得分大于当前敲击剩余的球数时，不需要考虑对手如何打球，当前球员必定可以得到s分
    return dp[n][m]

总结

通过这道谜题，我们可以学习到动态规划算法在实际问题中的应用，同时也可以锻炼我们的编程思维和算法实现能力。