令A和B为实数上的两个n×n矩阵。令rank(M)和det(M)分别表示矩阵M的秩和行列式。请考虑以下语句。
I. rank(AB) = rank(A)*rank (B)
II. det(AB) = det(A)*det(B)
III. rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)
IV. det(A+B) ≤ det(A) + det(B) 上面哪个陈述是正确的?
(A)仅I和II
(B)仅I和IV
仅(C) II和III
(D)仅III和IV答案： (C)
说明： I.错误。根据矩阵等级的性质：
if P(A) = m and P(B)=n then P(AB) ≤ min(m,n) 但是，如果A和B是n阶的平方矩阵，则
P(AB) = P(A) + P(B) – n 二。真的。即，乘积的行列式等于行列式的乘积。
三，真的。因为，两个非奇异矩阵之和的合成矩阵可以是奇异矩阵。
IV。错误的。因为，两个奇异矩阵之和的合成矩阵可以是非奇异矩阵。
选项(C)为真。
这个问题的测验