位操作(重要策略)

先决条件：C语言中的按位运算符，竞争性编程的按位hacks，竞争性编程的bit技巧

1. 计算从1到n的XOR(直接方法)：

   // Direct XOR of all numbers from 1 to n
   int computeXOR(int n)
   {
       if (n % 4 == 0)
           return n;
       if (n % 4 == 1)
           return 1;
       if (n % 4 == 2)
           return n + 1;
       else
           return 0;
   }
   

   Input: 6
   Output: 7
   

   有关详细信息，请参考从1到n的Compute XOR。

2. 我们可以快速计算出小于或等于和与XOR相等的数字的组合总数。无需使用循环(蛮力法)，我们可以通过数学技巧直接找到它，即

   // Refer Equal Sum and XOR for details.
   Answer = pow(2, count of zero bits)

3. 如何知道数字是否为2的幂?

   //  Function to check if x is power of 2
   bool isPowerOfTwo(int x)
   {
        // First x in the below expression is
        // for  the case when x is 0 
        return x && (!(x & (x - 1)));
   }
   

   有关详细信息，请参阅检查数字是否为2的幂。

4. 查找集合中所有子集的XOR。我们可以在O(1)时间内完成。如果给定集合具有多个元素，则答案始终为0。对于具有单个元素的集合，答案是单个元素的值。有关详细信息，请参考所有子集的XOR。
5. 我们可以使用GCC在C++中以整数的二进制代码快速找到前导，尾随零和1的数目。这可以通过使用内置函数来完成，即

   Number of leading zeroes: builtin_clz(x)
     Number of trailing zeroes : builtin_ctz(x)
     Number of 1-bits: __builtin_popcount(x) 

   有关详细信息，请参阅GCC内置函数。

6. 将二进制代码直接转换为C++中的整数。

   // Conversion into Binary code//
   #include 
   using namespace std;
     
   int main()
   {
       auto number = 0b011;
       cout << number;
       return 0;
   }
   

   Output: 3
   

7. 交换两个数字的最快方法：

   a ^= b;
   b ^= a; 
   a ^= b;

   有关详细信息，请参考交换两个数字。

8. 翻转数字位的简单方法：可以通过简单的方法完成，只需从所有位均等于1时获得的值中减去数字即可。
   例如：

   Number : Given Number
   Value  : A number with all bits set in given number.
   Flipped number = Value – Number.
   
   Example : 
   Number = 23,
   Binary form: 10111;
   After flipping digits number will be: 01000;
   Value: 11111 = 31;
   

9. 我们可以找到O(1)时间中固定大小整数的最高有效设置位。例如，下面的cocde用于32位整数。

   int setBitNumber(int n)
   {      
       // Below steps set bits after
       // MSB (including MSB)
     
       // Suppose n is 273 (binary 
       // is 100010001). It does following
       // 100010001 | 010001000 = 110011001
       n |= n>>1;
     
       // This makes sure 4 bits
       // (From MSB and including MSB)
       // are set. It does following
       // 110011001 | 001100110 = 111111111
       n |= n>>2;   
     
       n |= n>>4;  
       n |= n>>8;
       n |= n>>16;
         
       // Increment n by 1 so that
       // there is only one set bit
       // which is just before original
       // MSB. n now becomes 1000000000
       n = n + 1;
     
       // Return original MSB after shifting.
       // n now becomes 100000000
       return (n >> 1);
   }
   

   有关详细信息，请参见查找数字的最高有效置位。

10. 我们可以快速检查数字中的位是否处于备用模式(例如101010)。我们计算n ^(n >> 1)。如果n具有备用模式，则n ^(n >> 1)运算将产生仅具有设置位的数字。 ‘^’是按位XOR运算。有关详细信息，请参考检查数字是否具有备用模式中的位。

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