在正常的中位数中，我们找到了一个具有最小距离总和的点。类似的概念适用于二维空间。
给定二维空间中的N个点，任务是找出一个单点(x，y)，从该点到输入点的距离之和被最小化(也称为最小距离的中心)。
例子：
Input: (1, 1), (3, 3)
Output: Geometric Median = (2, 2) with minimum distance = 2.82843
Input: (0, 0), (0, 0), (0, 12)
Output: Geometric Median = (0, 0) with minimum distance = 12
方法：
乍一看，这个问题似乎要求我们找到给定输入点的中点或几何中心点(换句话说，质心)。由于它是输入的“中心”点，因此应自动最小化从中心到所有给定输入点的距离之和。此过程类似于找到重心
离散质量粒子。第一个示例测试用例甚至给出了正确的答案。但是，当我们对第二个示例应用相同的逻辑时会发生什么呢?
我们可以清楚地看到，几何中心或质心
在
。因此，根据欧几里德距离公式，从质心到所有三个输入点的总距离为
但是最佳点应该是
，使我们的总距离为
那么，我们哪里错了?
直观地，您可以认为输入点的质心为我们提供了输入点的算术平均值。但是我们需要的是输入点的中心趋势，以便使达到该中心趋势的成本(或换句话说，欧几里得距离)最小化。这被称为一组点的几何中位数，这有点像在概念上，中位数与给定输入的均值有很大不同。
没有任何定义好的正确算法可以找到几何中值。解决此类问题的方法是近似解决方案，并确定我们的解决方案是否确实是“几何中位数”。
算法
有两个重要变量：
- current_point –存储该点的x和y坐标，该坐标可以是“几何中值”。
- minimum_distance –存储从current_point到所有输入点的欧几里得距离的总和。
每次近似后，如果找到距离总和较低的新点，则将current_point和minimum_distance的值都更新为新点和新距离。
首先，我们找到给定点的质心，将其作为current_point(或中位数)并将距离之和存储在minimum_distance中。然后，我们迭代给定的输入点，依次假设每个输入点为中位数，然后计算到其他点的距离。如果此距离小于minimum_distance，则将current_point和minimum_distance的旧值更新为新值。否则，旧值保持不变。
然后我们进入一个while循环。在该循环内，我们总共从current_point移动了一个test_distance距离(对于本示例，我们假设test_distance为1000) 
方向(左，上，右，下)。因此我们得到
新点。然后我们计算从这些新点到给定输入点的距离。如果此距离之和小于先前的minimum_distance，则我们将current_point和minimum_distance的旧值更新为新值，并重复while循环。否则，我们将test_distance除以
然后重复while循环。
while循环的终止条件是一个称为“ lower_limit”的特定值。值越小，近似的精度越高。当lower_limit超过test_distance时，循环终止。
下面是上述方法的实现：
// C++ implementation of the approach
#include
using namespace std;
// To store a point in 2-D space
struct Point {
double x, y;
};
// Test points. These points are the left,
// up, right and down relative neighbours
// (arranged circularly) to the
// current_point at a distance of
// test_distance from current_point
Point test_point[] = { { -1.0, 0.0 },
{ 0.0, 1.0 },
{ 1.0, 0.0 },
{ 0.0, -1.0 } };
// Lowest Limit till which we are going
// to run the main while loop
// Lower the Limit higher the accuracy
double lower_limit = 0.01;
// Function to return the sum of Euclidean
// Distances
double distSum(Point p,
Point arr[], int n)
{
double sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
double distx = abs(arr[i].x - p.x);
double disty = abs(arr[i].y - p.y);
sum += sqrt((distx * distx) + (disty * disty));
}
// Return the sum of Euclidean Distances
return sum;
}
// Function to calculate the required
// geometric median
void geometricMedian(Point arr[], int n)
{
// Current x coordinate and y coordinate
Point current_point;
for (int i = 0; i < n; i++) {
current_point.x += arr[i].x;
current_point.y += arr[i].y;
}
// Here current_point becomes the
// Geographic MidPoint
// Or Center of Gravity of equal
// discrete mass distributions
current_point.x /= n;
current_point.y /= n;
// minimum_distance becomes sum of
// all distances from MidPoint to
// all given points
double minimum_distance =
distSum(current_point, arr, n);
int k = 0;
while (k < n) {
for (int i = 0; i < n, i != k; i++) {
Point newpoint;
newpoint.x = arr[i].x;
newpoint.y = arr[i].y;
double newd =
distSum(newpoint, arr, n);
if (newd < minimum_distance) {
minimum_distance = newd;
current_point.x = newpoint.x;
current_point.y = newpoint.y;
}
}
k++;
}
// Assume test_distance to be 1000
double test_distance = 1000;
int flag = 0;
// Test loop for approximation starts here
while (test_distance > lower_limit) {
flag = 0;
// Loop for iterating over all 4 neighbours
for (int i = 0; i < 4; i++) {
// Finding Neighbours done
Point newpoint;
newpoint.x = current_point.x
+ (double)test_distance * test_point[i].x;
newpoint.y = current_point.y
+ (double)test_distance * test_point[i].y;
// New sum of Euclidean distances
// from the neighbor to the given
// data points
double newd = distSum(newpoint, arr, n);
if (newd < minimum_distance) {
// Approximating and changing
// current_point
minimum_distance = newd;
current_point.x = newpoint.x;
current_point.y = newpoint.y;
flag = 1;
break;
}
}
// This means none of the 4 neighbours
// has the new minimum distance, hence
// we divide by 2 and reiterate while
// loop for better approximation
if (flag == 0)
test_distance /= 2;
}
cout << "Geometric Median = ("
<< current_point.x << ", "
<< current_point.y << ")";
cout << " with minimum distance = "
<< minimum_distance;
}
// Driver code
int main()
{
int n = 2;
Point arr[n];
arr[0].x = 1;
arr[0].y = 1;
arr[1].x = 3;
arr[1].y = 3;
geometricMedian(arr, n);
return 0;
}
Geometric Median = (2, 2) with minimum distance = 2.82843
参考：几何中值，最小距离中心
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