直线的标准形式

有几种形式可以用来表示二维坐标平面上的直线方程，从几种形式中可以选择三种主要形式：点-斜率形式，斜率截取形式以及常规形式或标准形式。普通形式或标准形式是线性方程，其中方程的阶次为1。

标准形式方程式

标准形式的等式为

Ax + By + C = 0

或者

Ax + By = C 

在此，A，B和C是实常数，并且A和B的值不能同时为零。因此，可以说，A和B同时不为零的Ax + By + C = 0形式的方程称为直线标准方程的一般方程。标准方程的图形始终是直的。

如果A = 0的值，则该线的方程为y = -C / B且该线为水平，即平行于x轴；如果B = 0，则该线的方程为x = -C / A，并且该线是垂直的，表示平行于y轴。

例如：

2x + 4y + 3 = 0      

4x – 6y = -34

Both the equations are in the standard form

3x = -3y – 2

3y = 2(x + 1)

Both the given equations are not in the standard form

标准表格的类型

方程的标准形式可以表示为三种不同形式：

斜率截距形式：我们知道斜率截距形式的方程为y = mx + c。现在我们看到如何以斜率截距形式表示一般方程，即Ax + By + C = 0。

因此，如果B≠0的值，则一般等式即Ax + By + C = 0可以写成：

$y = -\frac{A}{B}-\frac{C}{B}$ -(1)

现在，将方程式(1)与斜率截距形式进行比较，即y = mx + c，我们得到

m = -A / B，c = -C / B

因此，Ax + By + C = 0的斜率为-A / B，y轴截距为-C / B。

例子：

问题1.找到给定方程2x + 5y + 1 = 0的斜率和y轴截距。

解决方案：

Given: equation of line = 2x + 5y + 1 = 0

Find: slope and y-intercept

So the given equation can be written as 

y = (-1 – 2x)/5

y = -2x/5 – 1/5        -(1)

As we know that the slope-intercept form is 

y = mx + c        -(2)

On comparing eq(1) and (2) we get

m = -2/5 and c = -1/5

Hence, the slope is -2/5 and y-intercept is -1/5

问题2.找到给定方程3x + 6y – 9 = 0的斜率和y轴截距。

解决方案：

Given: equation of line = 3x + 6y – 9 = 0

Find: slope and y-intercept

So the given equation can be written as 

y = (9 – 6x)/3

y = -2x + 3       -(1)

As we know that the slope-intercept form is 

y = mx + c        -(2)

On comparing eq(1) and (2) we get

m = -2 and c = 3

Hence, the slope is -2 and y-intercept is 3

截距形式：我们知道方程的截距形式为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 。现在我们来看看如何以截距形式表示一般方程，即Ax + By + C = 0。

因此，如果C≠0，那么一般等式即Ax + By + C = 0可以表示为：

$\frac{x}{-\frac{C}{A}}+\frac{y}{-\frac{C}{B}} = 1$ -(1)

现在，将等式(1)与截距形式进行比较，即$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ，我们得到

a = -C / A和b = -C / B

因此，x截距为-C / A，y截距为-C / B。并且如果C的值为0，则通用方程为Ax + By = 0，这意味着该线穿过原点，因此其截距为零。

例子：

问题1.找到给定方程4x + 8y + 2 = 0的x和y截距。

解决方案：

Given: 4x + 8y + 2 = 0.

Find: x and y-intercept

So the given equation can be written as 

$\frac{x}{\frac{-2}{4}}+\frac{y}{\frac{-2}{8}}=1$          -(1)

As we know that the Intercept Form is 

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$         -(2)

On comparing eq(1) and (2) we get

a = -2/4 = -1/2

b = -2/8 = -1/4

So the x-intercept is -1/2 and y-intercept is -1/4

问题2.找到给定方程12x – 4y – 2 = 0的x和y截距。

解决方案：

Given: 12x – 4y – 2 = 0

Find: x and y-intercept

So the given equation can be written as 

$\frac{x}{\frac{2}{12}}+\frac{y}{\frac{2}{-4}}=1$          -(1)

As we know that the Intercept Form is 

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$         -(2)

On comparing eq(1) and (2) we get

a = 2/12 = 1/6

b = -2/4 = -1/2

So the x-intercept is 1/6 and y-intercept is -1/2

范式：我们知道方程的截距形式为xcosω+ysinω= p。现在我们来看看如何以一般形式表示一般方程，即Ax + By + C = 0。

因此，让我们考虑正态形式为等式Ax + By + C = 0的直线的xcosω+ysinω= p。

所以， $\frac{A}{cos\omega} = \frac{B}{sin\omega} = \frac{C}{p}$

cosω= -Ap / C和sinω= -Bp / C

我们知道

罪^2(ω)+ COS ^2(ω)= 1 – (1)

因此，将所有这些值放在等式(1)中，我们得到

(-Ap / C) ² +(-Bp / C) ² = 1

$p^2 = \frac{C^2}{A^2 +B^2}$

$p = \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

所以， $cos\omega = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \ and \ sin\omega =\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

因此，一般方程的范式为xcosω+ysinω= p。

例子：

问题1.将给定的方程式转换为标准形式2x – 2y – 6 = 0。

解决方案：

Given: 2x – 2y – 6 = 0

Divide the given equation

√(2)² + (-2)² = √4 + 4 = √8 = 2√2

So, 2x/2√2 – 2y/2√2 = 6/2√2

x/√2 – y/√2 = 3/√2         (1)

As we know that the Intercept Form is 

xcosω + ysinω = p         -(2)

On comparing eq(1) and (2) we get

cosω = 1/√2

sinω = -1/√2

So, xcos45° + ysin225° = 3/√2

问题2。找到p和ω的值，等式为x + y + 3 = 0。

解决方案：

Given: x + y + 3 = 0

Divide the given equation

√(1)² + (1)² = √2

So, x/√2 + y/√2 = -3/√2        (1)

As we know that the Intercept Form is 

xcosω + ysinω = p         -(2)

On comparing eq(1) and (2) we get

cosω = 1/√2

sinω = 1/√2

xcos45° + ysin45° = -3/√2

Hence, p = -3/√2 and ω = 45°

绘制线性方程式：5x + 2y = 20

要创建线性方程5x + 2y = 20的图形，我们需要找到x轴和y轴的坐标。

步骤1：因此，我们求解y：

5x + 2y = 20-(1)

两侧减-5x

5x – 5x + 2y = 20 – 5x

2y = 20 – 5x-(2)

现在将方程式(2)除以2，我们得到

2 / 2y =(20 – 5x)/ 2

y = 10 – 5x / 2-(3)

现在，我们将方程式(3)布置为斜率截距形式，即y = mx + b

y = -5x / 2 + 10

现在，方程式(m)的斜率为-5 / 2，y轴截距(b)为10。

步骤2 ：现在我们创建一个表以查找要点：

x	y = 10 – 5x/2	Points
0	y = 10-5(0)/2	(0, 10)
2	y = 10 – 5(2)/2	(2, 5)
4	y = 10 – 5(4)/2	(4, 0)

步骤3：找到点后，在图形上绘制x轴和y轴，并在图形上绘制所有这些坐标。

步骤4：现在通过连接点画一条直线，这里的直线代表给定的线性方程。

如何将斜率截距转换为标准形式?

让我们借助示例讨论如何将斜率截距转换为标准形式。

我们有一个方程y = 3 / 5x + 2/9。现在，我们将给定的方程式转换为标准形式。这里，给定的方程可写在斜截的形式，即，表达式y = mx + c和我们必须在标准形式给定的方程即AX + + C = 0转换。

因此，给定的方程式在两边都乘以45，因为45可以被5和9整除

45y = 45(3x / 5)+ 45(2/9)

45y = 9(3x)+ 5(2)

45y = 21x + 10

或21x – 45y + 10 = 0

因此，方程y = 3 / 5x + 2/9的标准形式为21x – 45y + 10 = 0。