替代整合

积分是一种找到函数f(x)的方法，该函数的导数Df(x)等于给定函数。这就是为什么它也被称为反导数。通常对积分进行计算，以找到可提供有关面积，位移，体积的信息的函数，该信息由于收集了无法单独测量的小数据而出现。在这里，我们可以通过替换方法或形式为f(p)p’(x)的积分来定义积分。

1. 代入积分法
2. f(p)p’(x)形式的积分

代入积分法

只要给定函数f(x)乘以给定函数f(x)’的导数，即形式为∫g(f(x)f(x)’)dx，就可以使用替换法积分。当要被集成的函数不是在一个标准的形式，它有时可通过合适的取代被变换为积形式。积分

∫ f {g (x)} g’ (x) dx can be converted to 

∫f (θ) dθ by substituting g (x) by θ, so that if

∫f (θ) dθ = F(θ) + c, Then

∫f{g (x)} g’ (x) dx = F{g(x)} + c

This is a direct consequence of chain rule, for

d/dx [F {g(x)} + c] = d/dθ [F(θ) + c] . dθ/dx = f {g(x)} g’(x)

没有明确的替代公式。对被积物形式的敏锐观察将有助于选择要进行替代的函数。但是，必须确保与上述情况一样，如此选择的函数的导数必须与dx一起出现。有时可能仅需调整常数即可。变量viz的任何符号。除了给定积分的变量外，还可以选择s，t，u，v，w，x，y，z进行替换。但是，积分结束后，应将原始变量放回原处。

例子

示例1：整合∫2x.cos(x ² )dx

解决方案：

Let, I = ∫ 2x. cos (x²) dx                     ………….                                            (i)

Substituting  x² = t                            …………                                            (ii)

by differentiate the above equation

            2x dx = dt                             …………                                             (iii)

put the equ (ii) and (iii) in equ (i), we get    

           = ∫ cos t dt

Integrate the above equation then, we get

            =  sin t + c

Put the value of t in the above equ

          = sin (x²) + c

Hence, I = sin (x²) + c

例2：对∫sin(x ³ )进行积分。 3x ² dx

解决方案：

Let, I = ∫ sin (x³). 3x² dx                            ………….                                            (i)

Substituting  x³ = t                                    …………                                            (ii)

by differentiate the above equation

           3x² dx = dt                                    …………                                             (iii)

put the equ (ii) and (iii) in equ (i), we get    

           = ∫ sin t dt

Integrate the above equation then, we get

         =  – cos t + c 

Put the value of t in the above equ

       = – cos (x³) + c

Hence, I = – cos (x³) + c

例3：整合∫2x cos(x ² − 5)dx

解决方案：

Let, I =  ∫ 2x cos(x² − 5) dx                      ………                          (i)

Put, x² – 5 = t                                          ………                          (ii)

differentiate the above equ

           2x dx = dt                                   ………                           (iii)

put the equ (ii) and (iii) in equ (i), we get

        = ∫ cos (t) dt

Integrate the above equ then, we get

           = sin t + c

Put the value of t in above equ

        = sin (x² – 5) + c

Hence, I = sin (x² – 5) + c

例4：整合∫x/(x ² +1)dx

解决方案：

Let, I = ∫ x / (x²+1) dx

we rearrange the above equ

    = (1/2) ∫ 2x / (x²+1) dx                                   (i)

put ,   x² + 1 = t                                                  (ii)

      2x dx = dt                                                    (iii)

put the equ (ii) and (iii) in equ (i), we get

     = (1/2) ∫ 1/t  dt

Integrate the above equ then, we get

      = (1/2) log t + c

now, put the value of t in the above equ

    = (1/2) log (x² +1) + c

Hence, I = (1/2) log (x² + 1) + c  

示例5：整合∫(2x + 3)(x ² + 3x) ² dx

解决方案：

Let, I = ∫ (2x + 3) (x² + 3x)² dx                                               (i)

Substitute x² + 3x = t                                                          (ii)

differenitate the above equ

        2x + 3 dx = dt                                                    (iii) 

put the equ (ii) and (iii) in equ (i), we get

            = ∫ t² dt  

Integrate the above equ then, we get

           = t³/3 + c

now, put the value of t in the above equ 

        = (x² + 3x)³ / 3 + c

Hence, I = (x² + 3x)³/3 + c                                       

f(p)p’(x)形式的积分

f (p). p'(x) where p is a function of x

I = ∫ f(p). p'(x) dx

Let p(x) = t

p'(x) dx = dt

I = ∫f(t) dt

例子

示例1：∫cos(x ² )2x dx

解决方案：

∫cos(x²) 2x dx

Here, f = cos, g(x) = x², g'(x) = 2x

So put,

x² = t  …..         (1)

differentiate the above equ w.r.t x

2x dx = dt   …..     (2)

so the equ is,

∫cost dt   …..        (3)

from integrate the equ (3)

sin t + c   ……        (4)

then put the value t in equ (4)

The final answer is = sin(x²) + c

示例2：整合∫cos(x ³ )。 3x ² dx

解决方案：

Let, I = ∫ cos (x³). 3x² dx                                                                        (i)

Here, f = cos,  g(x) = x³,  g'(x) = 3x²

Substituting  x³ = t                                                                                (ii)

by differentiate the above equation

                 3x² dx = dt                                                                          (iii)

put the equ (ii) and (iii) in equ (i), we get    

                 = ∫ cos t dt

Integrate the above equation then, we get

                  =  sin t + c

Put the value of t in the above equ

                = sin (x³) + c

Hence, I = sin (x³) + c

例3：整合∫2x sin(x ² − 5)dx

解决方案：

Let, I =  ∫ 2x cos(x² − 5) dx                                              (i)

Here, f= cos,  g(x) = x² – 5,  g'(x) = 2x

Put, x² – 5 = t                                                                 (ii)

differentiate the above equ

        2x dx = dt                                                               (iii)

Put the equ (ii) and (iii) in equ (i), we get

      = ∫ cos (t) dt

Integrate the above equ then, we get

        = – sin t + c

Put the value of t in above equ

      = – sin (x² – 5) + c

Hence, I = – sin (x² – 5) + c