Levene 的测试 - 芒果文档

Levene 检验用于评估两个不同样本之间的方差相等性。对于每个案例，它计算该案例的值与其单元格平均值之间的绝对差异，并对这些差异执行单向方差分析 (ANOVA)

假设

来自所考虑总体的样本是独立的。
所考虑的总体大致呈正态分布。

如何执行 Levene 检验

Levene 检验的原假设是组间方差相等。

$H_0 : \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} = \sigma_{3}^{2} ... = \sigma_{n}^{2}$

备择假设是不同组之间的方差不相等(至少一对方差不等于其他组)。

$H_A : \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2} \neq \sigma_{3}^{2} ... \neq \sigma_{n}^{2}$

Levene 检验的检验统计量是：

$W = \frac{\left ( N - k \right )\sum_{i=1}^{K}N_{i} \left ( Z_{i} - Z.. \right )^2}{ \left ( K-1 \right )\sum_{i=1}^{K} \sum_{j=1}^{N_i}\left ( Z_{ij}- Z_i \right )^2}$

在哪里，
- k：抽样案例所属的不同组的数量。
- N _i ：不同组中的元素数。
- N：所有组的病例总数

$Z_{ij} = \begin{Bmatrix} \left | Y_{ij} - \bar{Y_i} \right |, \bar{Y_i} \, is \, the \, mean \, of \, the \, i^{th} \, group \\ \left | Y_{ij} - \tilde{Y_i} \right |, \tilde{Y_i} \, is \, the \, median \, of \, the \, i^{th} \, group \end{Bmatrix}$

在哪里，
- Y _ij ：第 j^个案例和^第i 个组的值。

$Z_i. = \frac{1}{N_i}\sum_{j=1}^{N_i}Z_{ij} \, where \, Z_{ij} \,is \, the\, mean \, of \, for \, group \, i$ [Tex]Z_{..} = \frac{1}{N_i}\sum_{i=1}^{K}\sum_{j=1}^{N_i}Z_{ij} \，其中 \, Z_{ ij} \,is \, the\, mean \, of \, all. [/特克斯]

Levene 的统计数据共有三种类型
- 如果分布具有更长的尾分布，如柯西分布，那么我们使用修剪均值。
- 对于偏态分布，如果分布不明确，我们将使用中位数进行测试统计。
- 对于对称分布和中尾分布，我们使用均值进行分布。
确定显着性水平 (alpha)。一般我们取0.05。
在 F 分布表中找到给定显着性水平 (Nk) 和 (k-1) 参数的临界值。
- 如果 W > F _{∝, k-1, Nk，}那么我们拒绝原假设。
- 否则，我们不拒绝原假设。

例子：

假设有 2 组学生，他们的数学考试成绩如下：

Group 1	Group 2
14	34
34	36
16	44
43	18
45	42
36	39
42	16
43	35
16	15
27	33

在这里，我们的原假设定义为：

$H_0 : \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$

替代假设是

$H_A : \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}$

我们的重要性水平是：

$\alpha = 0.05$

现在，使用上述公式计算测试统计量

	Group 1	Group 2	G1 (Y) : (X_i – Mean)	G2 (Z) : (X_i – Mean)	(Y_i– meanVar)²	(Z_i– meanVar)²
	14	34	2.8	17.6	49	60.84
	34	36	4.8	2.4	25	54.76
	16	44	12.8	15.6	9	33.64
	43	18	13.2	11.4	11.56	2.56
	45	42	10.8	13.4	1	12.96
	36	39	7.8	4.4	4	29.16
	42	16	15.2	10.4	29.16	0.36
	43	35	3.8	11.4	36	2.56
	16	15	16.2	15.6	40.96	33.64
	27	33	1.8	4.6	64	27.04
Average	31.6	31.2	8.92	10.68

其中，meanVar 是，

$meanVar = \frac{10 * 8.92 + 10 * 10.68}{20}$

和 k-1 = 组数 -1 =1
Nk = 20-2 =18。
通过使用以下参数求解测试统计量

$W = \frac{18* 15.488}{1* 511.712}$ [特克斯]W = 0.54481[/特克斯]

由于 W < F _0.05,1,19 ，因此我们不拒绝原假设。

执行：

Python3

from scipy.stats import levene
# define groups
group_1 = [14, 34, 16, 43, 45, 36, 42, 43, 16, 27]
group_2 = [34, 36, 44, 18, 42, 39, 16, 35, 15, 33]
 
# define alpha
alpha =0.05
# now we pass the groups and center value from the following
# ('trimmed mean', 'mean', 'median')
w_stats, p_value =levene(group_1,group_2, center ='mean')
 
if p_value > alpha :
  print("We do not reject the null hypothesis")
else:
  print("Reject the Null Hypothesis")

We do not reject the null hypothesis