证明奇数的平方总是奇数

本文重点详细讨论为什么奇数的平方总是奇数的证明。

奇数：
如果一个数不能被2整除，或者一个数可以用(2k +1)的形式表示，对于某个整数k，则称该数为奇数。

平方根：
给定两个数 A 和 B，如果 A * A = B 则 A 称为 B 的平方根。

问题陈述：
奇数的平方总是奇数。

证明：
本节讨论上述问题陈述的证明——

1.考虑一个奇数X。根据上面的定义，A可以写成-

X = (2k + 1), for some integer k

2. 现在，两边平方——

X2 = (2k + 1)2 ---(1)

3. 2数之和的平方公式是-

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

4.在等式(1)中使用上述性质-

X2 = (2k)2 + 4k + 1
X2 = 4k2 + 4k + 1 ---(2) 

5. 现在，让我们对等式 2 进行一些重新排列：

X2 = 2(2k2 + 2k) + 1

6. 注意上述等式的右侧。由于 K 是整数，所以 (2k ² + 2k) 也是整数。现在，让我们假设一个整数，m = (2k ² + 2k)。上面的方程可以写成——

X2 = (2m + 1), for some integer m

7、从上面的等式和奇数的定义，可以得出X ²也是奇数的结论，这就证明了我们的说法：奇数的平方总是奇数。

例子：
对于 X = 3-

1. 将值 X = 3 放在上面的等式中一步一步 –

X = (2k + 1), for some integer k
3 = (2k + 1), for k = 1 (integer)

2. 现在，如果取 X 的平方——

X2 = (2k + 1)2
X2 = 4K2 + 4K + 1

3. 再次排列后，X ²可写为-

X2 = 2(2k2 + 2k) + 1
for X = 3,
9 = 2(2k2 + 2k) + 1 

4. 对于 k = 1， (2k ² + 2k) 计算结果为 4。让 m= (2k ² + 2k) = 4 即

9 = 2m + 1, for m = 4 (integer)  

现在，从奇数的上述定义，可以说9是奇数，这意味着奇数的平方(在这种情况下，3)总是奇数。因此，证明。