检察官的谬误

检察官谬误是贝叶规则的一个非常著名但被忽视的应用。

检察官谬误是统计推理中的谬误。这个非常著名的问题揭示了我们逻辑思维方式中的一个漏洞。这是条件概率之间的混淆——给定 B 的 A 概率和给定 A 的 B 概率。
那么就让我们开始了解一下这位检察官的谬论到底是怎么回事吧！

一个人在一个有 50 万人口的城市犯罪。在犯罪现场发现了 DNA 信息。此信息导致说有 10 名嫌疑人，其中一名已被审判。所以现在我们有一个被告在法庭上！他/她是无辜的吗?

为了解决这种情况，我们需要以下事件：
1. I ：被告无罪的事件。
2. Ic ：被告有罪的事件。
3. Ev : 被告与犯罪现场收集到的信息相匹配的事件——证据。

对应于这些事件的条件概率如下：
1. P(Ev|I) ：无辜者与证据匹配的概率。
2. P(I|Ev) ：符合描述的人是无辜的概率。

公诉人提出以下论点：
一个随机的人有十万分之一的机会匹配该死的证据。因此，如果一个人有定罪的证据，那么这个人一定是有罪的。

换句话说：
一个无辜的人有十万分之一的机会匹配该死的证据 Ev。因此，如果被告拥有确凿的证据，则被告无罪的可能性为十万分之一。这意味着被告必须有罪。

通过提出这个论点，他犯了检察官的谬论。
在数学上，
P(Ev|I) : 1/100000
P(I|Ev) = P(Ev|I) = 1/100000。
有了这个概率，任何人都可以说这个人有罪，必须受到惩罚。可是等等！这个概率是不正确的。检察官改变了不确定的事情和周围的情况。这两个概率通常是不同的。

所以我们现在怎么办！如何计算 P(I|Ev) 的正确值?

解决方案是使用贝叶法则来计算 P(I|Ev)的实际值。
P(I|Ev) = P(Ev|I) * P(I)/P(Ev)

• P(I|Ev) 的概率是多少?
• 插图–
  • 假设：
    • 有罪的人是居住在该地区的 50 万成年人中的一员。
    • 有罪的人也匹配证据(Ev)。
  • 一个人是无辜的概率：
    P(I) : 499,999 / 500000 = 0.999998
  • 一个人不是无辜的概率：
    P(Ic) : 1 / 500000 = 0.000002
  • 有罪的人与该死的证据相匹配的概率。
    P(Ev|Ic) : 1 即有罪的人匹配证据为 1 即 100%
  • 使用贝叶法则——
    1. P(Ev) = P(Ev|I)*P(I) + P(Ev|Ic)*P(Ic)
       • =0.00001*0.999998 + 1*0.000002
       • =0.000012
    2. P(I|Ev) = P(Ev|I) * P(I)/P(Ev)
       • =0.00001 * 0.999998/0.00012
    3. P(Ic|Ev) = 1 – P(I|Ev) = 0.16667
  • 因此，与该死的证据 (Ev) 匹配的人有 1/6 的机会是有罪的
    与该死的证据相符的人有 5/6 的机会是无辜的。
  • 因此，尽管匹配该死的证据，这个人很有可能是无辜的。

  资料来源：概率的直观介绍