先决条件 – 谓词和量词 – 第 1 组、第 2 组
量词是表示它们所附的术语范围的表达式，这里是谓词。谓词是语句的主语可以具有的属性。
例如，在语句“x 和 y 的和大于 5”中，谓词 ‘Q’ is-sum 大于 5，
并且该语句可以表示为 Q(x, y)，其中 x 和 y 是变量。
一个量词或量化的范围是，在量词接合式中的范围内。
量化类型或范围：
- Universal(∀) –谓词对于域中 x 的所有值都为真。
- Existential(∃) –谓词对于域中的至少一个 x 为真。
要知道公式中量词的范围，只需使用解析树。如果一个量词在另一个的范围内，则嵌套两个量词。
- 示例 1：
∀x ∃y (x+y=5)
这里的 ‘∃’(读作存在)和 ‘∀’(读作所有)是变量 x 和 y 的量词。
该语句可以表示为 –
∀x Q(x)
Q(x) 是 ∃y P(x, y) Q(x) – 谓词是仅 x 的函数，因为量词仅适用于变量 x。
P(x, y) 是 (x + y = 5) - 示例 2
∀x ∀y ((x> 0)∧(y< 0) → (xy< 0))
(用英语讲)
对于每个实数 x 和 y，如果 x 为正而 y 为负，则表示 xy 为负。
再次，
∀x Q(x)
其中 Q(x) 是 ∀y P(x, y)
将语句转换为嵌套量词公式的示例：
“这堂课有一个学生至少修过一门离散数学课程。”
一个语句由量词和谓词组成，将它分成两个组成部分。
这里 x 和 y 是学生，课程和它们各自的量词附加在它们前面。
写成——
对于某些 x 学生，存在一门离散数学课程，使得 x 选择了 y。
∃x ∃y P(x,y)，其中P(x,y)是“x取了y”。
- 定理 1：可以在不改变语句含义的情况下更改嵌套存在量词的顺序。
- 定理 2：可以在不改变语句含义的情况下更改嵌套全称量词的顺序。
- 示例 3：
假设 P(x, y) 是 xy=8，
∃x ∃y P(x, y) 域：整数
翻译成——
有一个整数 x 有一个整数 y 使得 xy = 8，
这与-
有一对整数 x, y，其中 xy = 8。
含义 ∃x ∃y P(x, y) 等价于 ∃y ∃x P(x, y)。相似地，
假设 P(x, y) 是 (xy = yx)。
∀x ∀y P(x, y) 域：实数
翻译成——
对于所有实数 x，对于所有实数 y，xy = yx 或，
对于每对实数 x, y, xy = yx。
∀x ∀y P(x, y) 等价于 ∀y ∀x P(x, y)。但是，当嵌套的量词不同时，改变顺序会改变语句的含义。
- 示例 4：
假设 P(x, y, z) 是 (x + y = z)。
∀x ∀y ∃z P(x, y, z) 域：实数
翻译成——
对于所有实数 x 和 y，存在一个实数 z 使得 x + y = z (True)
∀z ∃x ∃y P(x, y, z) 定义域：实数
有一个实数 z 使得对于所有实数 x 和 y，x + y = z (False)
嵌套量词的否定：
- 定理 3
要否定嵌套量词的序列，请将序列中的每个量词更改为另一种类型，然后否定谓词。
所以 ∀x ∃y : P(x, y) 的否定是 ∃x ∀y : ~P(x, y)
- 示例 5：
“∃x 在康奈尔大学，x 至少 18 岁。”
为了不同意这一点，您通过将 ∃ 翻转为 ∀ 然后否定该语句
否定谓词：
“在康奈尔大学的∀x 使得x 不是至少18 岁。”