问题-：证明 ( I, + ) 是一个阿贝尔群。即所有整数的集合 I 形成一个关于二元运算“+”的阿贝尔群。
解决方案-：
Set= I ={ ……………..-3, -2 , -1 , 0, 1, 2 , 3……………… }.
Binary Operation= ‘+’
Algebraic Structure= (I ,+)
我们必须证明 (I,+) 是一个阿贝尔群。
为了证明整数集 I 是一个阿贝尔群，我们必须满足以下五个性质，即闭包性质、结合性质、恒等性质、逆性质和交换性质。
1) 关闭属性
∀ a , b ∈ I ⇒ a + b ∈ I
2,-3 ∈ I ⇒ -1 ∈ I
因此，Closure Property 得到满足。
2)关联属性
( a+ b ) + c = a+( b +c) ∀ a , b , c ∈ I
2 ∈ I, -6 ∈ I , 8 ∈ I
So, LHS= ( a + b )+c
= (2+ ( -6 ) ) + 8 = 4
RHS= a + ( b + c )
=2 + ( – 6 + 8 ) = 4
Hence RHS = LHS
关联性也满足
3) 身份属性
a + 0 = a ∀ a ∈ I , 0 ∈ I
5 ∈ I
5+0 = 5
-17 ∈ I
-17 + 0 = – 17
身份属性也满足。
4) 反性质
a + ( -a ) = 0 ∀ a ∈ I , -a ∈ I ,0 ∈ I
a=18 ∈ I then ∋ a number -18 such that 18 + ( -18 ) = 0
因此，也满足逆性质。
5) 交换性质
a + b = b + a ∀ a , b ∈ I
Let a=19, b=20
LHS = a + b
= 19+( -20 ) = -1
RHS = b + a
= -20 +19 = -1
LSH=RHS
交换性也满足。
我们可以看到所有五个属性都满足。因此 (I,+) 是一个阿贝尔群。
注-：(I,+) 也是群形、幺半群和半群。
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