问题-：证明(I，+)是一个阿贝尔群。即，所有整数的集合我相对于二进制运算“ +”形成一个阿贝尔群。
解决方案-：
Set= I ={ ……………..-3, -2 , -1 , 0, 1, 2 , 3……………… }.
Binary Operation= ‘+’
Algebraic Structure= (I ,+)
我们必须证明(I，+)是一个阿贝尔群。
为了证明整数集I是一个阿贝尔群，我们必须满足以下五个属性，即闭包属性，关联属性，标识属性，逆属性和可交换属性。
1)封闭财产
∀ a , b ∈ I ⇒ a + b ∈ I
2,-3 ∈ I ⇒ -1 ∈ I
因此，关闭属性得到满足。
2)关联财产
( a+ b ) + c = a+( b +c) ∀ a , b , c ∈ I
2 ∈ I, -6 ∈ I , 8 ∈ I
So, LHS= ( a + b )+c
= (2+ ( -6 ) ) + 8 = 4
RHS= a + ( b + c )
=2 + ( – 6 + 8 ) = 4
Hence RHS = LHS
关联财产也得到满足
3)身份属性
a + 0 = a ∀ a ∈ I , 0 ∈ I
5 ∈ I
5+0 = 5
-17 ∈ I
-17 + 0 = – 17
身份属性也得到满足。
4)逆属性
a + ( -a ) = 0 ∀ a ∈ I , -a ∈ I ,0 ∈ I
a=18 ∈ I then ∋ a number -18 such that 18 + ( -18 ) = 0
因此，逆属性也得到满足。
5)可交换性
a + b = b + a ∀ a , b ∈ I
Let a=19, b=20
LHS = a + b
= 19+( -20 ) = -1
RHS = b + a
= -20 +19 = -1
LSH=RHS
交换性也得到满足。
我们可以看到所有五个属性都满足。因此(I，+)是一个阿贝尔群。
注意-：(I，+)也是Groupoid，Monoid和Semigroup。