门| GATE-CS-2004 |第 80 题

在 XY 平面中以 (0,0)、(1,0)、(1,2) 和 (0,2) 为角的矩形内以均匀概率随机选择一个点。如果 p 是点的位置向量的长度，则 p ²的期望值为

(一) 2/3
(乙) 1
(C) 4/3
(四) 5/3答案： (D)
Explanation: Here minimum value of p can be 0 (if point chosen is (0,0), then length of position vector will be 0), and maximum value can be 5√ when point chosen is (1,2), because that是离原点最远的点。所以 p 可以在 0 到 5√ 之间变化。
现在我们知道了

$E(p^2) = \int^\sqrt{5}_0 p^2*P(p)\,dp$

由于 p 是均匀随机变量， $P(p) = \frac{1}{\sqrt{5}-0} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
所以
$E(p^2) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\frac{p^3}{3}\right]^{\sqrt{5}}_0 = \frac{5}{3}$
所以选项(D)是正确的。

资料来源：http://www.cse.iitd.ac.in/~mittal/gate/gate_math_2004.html
这个问题的测验