偶数和奇数排列及其定理

偶数排列：

A permutation is called even if it can be expressed as a product of even number of transpositions.

示例 1：
 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 2 & 3\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix}$

在这里我们可以看到，置换 ( 1 2 3 ) 已被表示为三种方式的换位乘积，并且在每种方式中换位的数量都是偶数，因此它是偶数置换。

示例 2：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&4\\ 2 & 4 & 3&1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&4\\ 2 & 4 & 3&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 3\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 1&4\\ \end{pmatrix}$

给定的排列是两个转置的乘积，因此它是偶数排列。

奇数排列：

A permutation is called even if it can be expressed as a product of odd number of transpositions.

示例 1：

$\begin{pmatrix} 3 & 4& 5&6\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 3 & 4& 5&6\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 3 & 5\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 3 & 6\\ \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 4 & 5\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5 & 6\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 6 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 3 & 5\\ \end{pmatrix}$

在这里我们可以看到，置换 ( 3 4 5 6 ) 已经以两种方式表示为换位的乘积，并且在每种方式中换位的数量都是奇数，因此它是奇数置换。

示例 2：

$\begin{pmatrix} 1&2\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5&4&3\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 6&7&8\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1&2\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5&4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5&3\\ \end{pmatrix} o\begin{pmatrix} 6&7\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 6&8\\ \end{pmatrix}$

给定的排列是五个转置的乘积，所以它是一个奇数排列。

偶数和奇数排列的定理：

定理 1：

如果 P1 和 P2 是排列，则

• (a) P1 P2 是偶数，假设 P1 和 P2 都是偶数或都是奇数。
• (b) P1 P2 是奇数，前提是 P1 和 P2 之一是奇数，另一个是偶数。

证明：(一)

情况一。如果P1，P2都是偶数。

设 P1 和 P2 分别是 2n 和 2m 次换位的乘积，其中 n 和 m 是正整数。

那么 P、P2 和 P2 P1 中的每一个都是 2n + 2m 次换位的乘积，其中 2n + 2m 显然是偶数。

因此，P1 P2 和 P2P 是偶数排列。

案例二。如果 P1，P2 都是奇数。设 Pi 和 P2 分别是 (2n + 1) 和 (2m + 1) 次换位的乘积，其中 n 和 m 是正整数。

那么 P1 P2 和 P2P 中的每一个都是 (2n + 1) + (2m + 1) 的乘积，即 2 (n + m + 1) 个换位，其中 2(n + m + 1) 显然是一个偶数。

因此，P1 P2 和 P2 P1 是偶数排列。

证明：(b)

设 P, 为奇数，P2 为偶数排列。还让 P 和 P2 分别是 (2n + 1) 和 2 的乘积以及转置，其中 n 和 m 是正整数。

那么 P1 P2 和 P2P1 中的每一个都是 (2n + 1) + 2m 的乘积，即 [ 2 ( n+ m )+1] 次换位，其中 2(n+ m) + 1 显然是奇数整数。

因此 P1 P2 和 P2 P1 是奇数排列。

定理 2：
Identity 排列是偶数排列。

证明-：恒等置换 l 总是可以表示为两个(即偶数)换位的乘积。

例如

因此 I 是偶数排列。 (见定义)

定理 3：
偶数排列的逆是偶数排列。

证明-：如果 P 是偶数置换，P ^-1是它的逆，那么 PP ^-1 = I，恒等置换。

但是 P 和 I 是偶数(见上面的定理 2)，

所以 P ^-1也是偶数(见上面的定理 1 (a))

定理 4：
奇排列的逆是奇排列。

证明-：如果 P 是奇排列，P ^-1是它的逆，那么 PP ^-1 = I，恒等排列。

但是 P 和 I 是奇数(见上面的定理 2)，

所以 P ^-1也是奇数。 (见上面的定理 1(b))