偶数和奇数排列及其定理

偶数和奇数排列是组合数学中经常出现的概念。

偶排列和奇排列

一个排列是偶排列，当且仅当这个排列的逆序数为偶数。一个排列是奇排列，当且仅当这个排列的逆序数为奇数。

一个排列的逆序数是指有多少个数对 $(i, j)$ 满足 $i < j$ 且 $a_i > a_j$。

例如，对于排列 $[2, 4, 3, 1]$，$(2,1), (4,3), (4,1), (3,1)$ 为逆序对，因此这个排列的逆序数为 $4$，是一个偶数，因此这个排列是偶排列。

偶排列和奇排列的性质

偶排列和奇排列之间存在如下性质：

1. 任意两个相邻的排列，其偶偶组合或奇奇组合结果也一定是偶排列；
2. 任意两个不相邻的排列，其偶奇组合或奇偶组合结果也一定是奇排列。

偶排列和奇排列的计算

对于一个长为 $n$ 的排列，偶排列和奇排列的个数分别为 $n$ 的偶数次幂和 $n$ 的奇数次幂。

具体地，偶排列的总数为 $n!$，而奇排列的总数为 $(n-1)!$。

定理

偶排列和奇排列及其组合具有如下性质：

1. 对于一个长为 $n$ 的排列，其偶排列和奇排列的个数之差为 $(-1)^n$；
2. 任意两个排列的偶奇组合之和等于其元素从左到右按顺序排列的排列。

示例代码

from itertools import permutations

def is_even_permutation(arr):
    n = len(arr)
    inversions = sum(1 for i in range(n) for j in range(i+1, n) if arr[i] > arr[j])
    return inversions % 2 == 0

def even_permutations(n):
    return [p for p in permutations(range(1, n+1)) if is_even_permutation(p)]

def odd_permutations(n):
    return [p for p in permutations(range(1, n+1)) if not is_even_permutation(p)]

n = 4
even_perms = even_permutations(n)
odd_perms = odd_permutations(n)

print(f"Total even permutations of {n} elements: {len(even_perms)}")
print(f"Total odd permutations of {n} elements: {len(odd_perms)}")
print(f"Difference between even and odd permutations: {(-1)**n}")