当掷硬币时，得到正面的概率为p ， 0 < p < 1 。设N是随机变量，表示在第一个头出现之前的抛掷次数，包括出现头的地方的抛掷次数。假设连续投掷是独立的， N 的期望值 是
(A) 1/人
(B) 1/(1−p)
(C) 1/p2
(D) 1/(1−p2)答案：(一)
解释：
对于覆盖所有实数的连续变量 X，期望定义为
E(X)= ∫ xf(x) dx
头的概率 = p
尾巴的概率 = 1-p
如果第一次出现头部，概率为 1*p
如果先出现尾部，然后出现头部，则概率为 (1-p)*p
等等…。第 n 次，概率将为 (1-p) n-1 * p
E= 1*p + 2*(1−p)*p + 3*(1−p)*(1−p)*p + ………………。等式(1)
两边乘以 (1−p)：
E*(1-p) = 1*p*(1-p) + 2*(1-p)*(1-p)*p + 3*(1-p)*(1-p)*(1 -p)*p +………….等式(2)
从等式 1 中减去等式 2：
E−E*(1−p)= 1*p+ (1−p)*p+ (1−p)*(1−p)*p +…
E*p =p[1+ (1-p) + (1-p)*(1-p) + ……]
这是一个无限的几何级数。
E = 1/(1-(1-p)) = 1/p
E=1/p
正确答案是A。
该解决方案由Nitika Bansal 提供。
这个问题的测验