门| GATE IT 2006 |问题22

问题22是2006年GATE IT考试的一个问题，它是一道关于线性代数的问题。这道问题主要涉及到线性方程组的解法和矩阵的性质。在程序员的工作中，涉及到矩阵运算和线性方程组求解的情况很常见，因此掌握这道题目涉及的知识点对程序员非常重要。

题目描述

给出一个3x3的实矩阵$A$，其行列式为$9$，矩阵$A^2$的行列式为$81$。问矩阵$(A-I)^{-1} - 2A$的行列式的值是多少？

解题思路

第一步，我们可以利用行列式的性质将$A^2$的行列式转化为$A$的行列式的平方，即$|A^2| = |A|^2 = 81$，因此得到$|A| = 9$。

第二步，我们可以利用矩阵的性质求出矩阵$A$的逆，即$A^{-1}$。由于$|A| \neq 0$，因此矩阵$A$是可逆的。根据矩阵求逆的公式可得：

$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot adj(A) $$

其中$adj(A)$表示$A$的伴随矩阵。对于一个$3\times 3$的矩阵$A$，它的伴随矩阵可以表示为：

$$ adj(A) = \begin{bmatrix} A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32} & A_{13}A_{32}-A_{12}A_{33} & A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}\ A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33} & A_{11}A_{33}-A_{13}A_{31} & A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}\ A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31} & A_{12}A_{31}-A_{11}A_{32} & A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21} \end{bmatrix} $$

其中$A_{ij}$表示$A$中第$i$行第$j$列元素的余子式。

第三步，我们可以继续利用矩阵的性质，求出矩阵$(A-I)^{-1} - 2A$。根据矩阵的运算法则，可得：

$$ (A-I)^{-1} - 2A = A^{-1}(A-I)^{-1} - 2A = \frac{1}{|A|}(A-I)^{-1} - 2A $$

因此，我们只需要求出矩阵$(A-I)^{-1}$即可。

由于$(A-I)$不一定是可逆矩阵，我们可以使用矩阵求逆的另一种方法——使用初等变换将矩阵$(A-I)$变为一个简单的矩阵，然后求出变换后的矩阵的逆，最后通过逆向进行初等变换得到矩阵$(A-I)^{-1}$。

具体地，我们可以对矩阵$(A-I)$进行初等变换，变换成如下的形式：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ k & l & 1 \ \end{bmatrix} $$

其中$k$和$l$为待定系数。

对变换后的矩阵求逆，得到的矩阵为：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ -k & -l & 1 \ \end{bmatrix} $$

最后将逆矩阵进行逆向的初等变换，得到矩阵$(A-I)^{-1}$，即：

$$ (A-I)^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ -k & -l & 1 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ -k & -l & 1 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ k & l & 1 \ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ k & l & 1 \ \end{bmatrix} $$

最后，我们将矩阵$(A-I)^{-1}$和矩阵$2A$相减，得到：

$$ (A-I)^{-1}-2A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ k-2 & l & 1 \ \end{bmatrix} $$

求其行列式，有：

$$ |(A-I)^{-1}-2A| = (1) \cdot (1) \cdot (k-2) $$

因此，$|(A-I)^{-1}-2A| = k-2$。

总结

这道题目涉及到了矩阵的运算、逆矩阵的求法、初等变换等知识点。在程序员的工作中，矩阵的运算和线性方程组的求解是非常常见的情况。因此，掌握这些知识点对程序员是非常重要的。通过本题目的分析，我们可以进一步加深对这些知识点的理解和应用。