属性闭合算法及其应用

FD 的集合 F 的闭包是^{可以从 F 推断出的所有 FD 的集合 F +} 。它也称为功能依赖的完整集合。用 F ⁺表示。

算法：属性闭包集

Algorithm to compute a+, the closure of a under F
Result:= a;
while (changes to Result) do  
    for each B → Y in F do
        Begin
            if B ⊆  Result  then  Result := Result ∪  Y  
        End

属性闭包的利用——

测试给定的属性是否是超级键/候选键。
我们可以检查 FD X → Y 是否成立。
^{找出 F +}的另一种方法。

测试属性是否为超键。

例子：
令 R = (A, B, C, G, H, I) 和 FD 的集合是 F = { A → B, A → C, CG → H, CG → I, B → H}

找出 (AG) ⁺ .

结果 = {A, G}

第一个循环：

A → B includes B in the Result as A⊆ Result (which is AG), so Result := Result ∪ B. 
Hence Result = {A, G, B}
A → C causes Result to become ABCG.
CG → H causes the Result to become ABCGH.
CG → I causes the Result to become ABCGHI.
B → H causes Result to become ABCGHI.

第二个循环：

A → B causes the Result to be unchanged i.e. ABCGHI (B is already part of the Result).
A → C causes Result to be unchanged.
CG → H causes the Result to be unchanged.
CG → I causes the Result to be unchanged.
B → H causes Result to be unchanged.

在第二个循环结束时，结果不会改变，因此退出循环。

(AG) ⁺ = {A, B, C, G, H, I}

结论： AG 是一个超级键，因为它可以确定所有其他属性。

检查 Fd 是否存在：
例子：
令 R = (A, B, C, G, H, I) 和 FD 的集合是 F = { A →B, A → C, CG → H, CG → I, B → H}

检查 HB → 我持有与否

结果 = {H, B}

第一个循环：
```
In A → B as A ⊆ Result (which is HB) so nothing will be added.
In A → C nothing added.
CG → H (CG ⊆ Result (which is HB) so nothing added)
CG → I nothing added.
B → H nothing added.
```
在第一个循环结束时，结果不会改变，因此退出循环。

结论： HB→我不持有。

找到 FD 闭包的另一种方法 (F ⁺ )。

例子：
给定一个关系 R (A, B, C, D, E, F) 和一组 FDs F: {A → BC, E → CF, B → E, CD → EF}

找出 {A, B} ^{+ 的闭包}

步骤 1：结果 = AB

步骤 2：第一个循环

Result = ABC for A → BC, A ⊆ Result so Result = Result ∪ BC.
Result = ABC for E→ CF, E ∉ Result so Result = Result.
Result = ABCE for B → E, B ⊆Result so Result = Result ∪ E.
Result = ABCE for CD → EF, CD ∉ Result so Result = Result.

步骤2之前的结果是AB，步骤2之后的结果是不同的ABCE，所以重复步骤2。

第 3 步：第二个循环

Result = ABCE for A → BC, A ⊆ Result so Result = Result ∪ BC.
Result = ABCEF for E → CF, E ⊆ Result so Result = Result ∪ CF.
Result = ABCEF for B → E, B ⊆ Result so Result = Result ∪ E.
Result = ABCEF for CD → EF, CD ∉ Result so Result = Result.

第3步之前的结果是ABCE，第3步之后的结果是ABCEF，不同，重复第3步。

第 4 步：第三个循环

Result = ABCEF for A → BC, A ⊆ Result so Result = Result ∪ BC.
Result = ABCEF for E → CF, E ⊆ Result so Result = Result ∪ CF.
Result = ABCEF for B → E, B ⊆ Result so Result = Result ∪ E.
Result = ABCEF for CD → EF, CD ∉ Result so Result = Result.

步骤 4 之前的结果是 ABCEF，步骤 3 之后的结果是 ABCEF，这是相同的，所以停止。

所以 {A, B} ^{+ 的}闭包是 {A, B, C, E, F}。

结论：对于每个属性/属性集，我们都可以找到闭包。这导致 F ⁺ 。