关系的闭合性质

考虑给定的集合A以及A上所有关系的集合。令P为此类关系的属性，例如对称或可传递。具有属性P的关系将称为P关系。在A上表示为P(R)的任意关系R的P闭包是一个P关系，使得

R ⊆ P (R) ⊆ S

(1)自反和对称闭包：下一个定理告诉我们如何轻松获得关系的自反和对称闭包。

定理：设R是集合A上的一个关系。

• R∪∆ _A是R的自反闭合
• R∪R ^-1是R的对称闭环。

范例1：

Let A = {k, l, m}. Let R is a relation on A defined by
    R = {(k, k), (k, l), (l, m), (m, k)}. 

找到R的反身闭合。

解： R∪∆是具有反射性的最小关系，因此，

RF = R ∪ ∆ = {(k, k), (k, l), (l, l), (l, m), (m, m), (m, k)}.

例2：考虑在A = {4，5，6，7}上的关系R定义为

R = {(4, 5), (5, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 4), (7, 7)}

查找R的对称闭合。

解决方案：包含具有对称性质的R的最小关系为R∪R ^-1 ，即

RS = R ∪ R-1 = {(4, 5), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 7), (7, 6), (7, 4), (4, 7), (7, 7)}.

(2)传递闭包：考虑集合A上的关系R。关系R的关系R的传递闭包R是包含R的最小传递关系。

回想一下，R ² =R◦R和R ⁿ = Rn ^– 1◦R。我们定义

以下定理适用：

定理1： R ^*是R的传递闭包

假设A是一个包含n个元素的有限集。

定理2：令R为具有n个元素的集合A的关系。然后

例1：考虑在A = {1,2,3}上的关系R = {(1，2)，(2，3)，(3，3)}。然后
R2 ^=R◦R = {(1,3)，(2,3)，(3,3)}和R ³ = R ^2◦R = {(1,3)，(2,3)，(3 ，，3)}因此，
传递(R)= {(1，2)，(2，3)，(3，3)，(1，3)}

例2：设A = {4，6，8，10}和R = {(4，4)，(4，10)，(6，6)，(6，8)，(8，10)}是一个与集合A的关系。确定R的传递闭包。

解决方案：关系R的矩阵如图所示：

现在，找到M _R的幂，如图所示：

因此，男_R的传递闭包是M _{R ^*，}如图(其中，M _{R ^*}是M _R的功率的或运算)。

因此，R ^* = {(4，4)，(4，10)，(6，8)，(6，6)，(6，10)，(8，10)}。

注意：在对矩阵R的幂进行或运算时，我们可以消除MRn，因为如果n为偶数，则MRn等于MR *；如果n为奇数，则等于MR3。