以下问题已在 GATE CS 2011 考试中提出。
1) 一个无向图 G(V, E) 包含 n ( n > 2 ) 个名为 v1 , v2 ,….vn 的节点。两个节点 vi , vj 连接当且仅当 0 < |i – j| <= 2. 每条边 (vi, vj ) 被分配一个权重 i + j。下面显示了 n = 4 的示例图。
这种具有 n 个节点的图的最小生成树 (MST) 的成本是多少?
(A) 1/12(11n^2 – 5n)
(B) n^2 – n + 1
(C) 6n – 11
(D) 2n + 1
答案：(乙)
2 个节点的最小生成树为
(v1) _ (v2)
总重量 3
3 个节点的最小生成树为
(v1) _ (v2)
|
(v3)
总重量= 3 + 4 = 7
4 个节点的最小生成树为
(v1) _ (v2) _ (v4)
|
(v3)
总重量= 3 + 4 + 6 = 13
5 个节点的最小生成树为
(v1) _ (v2) _ (v4)
|
(v3)
|
(v5)
总重量= 3 + 4 + 6 + 8 = 21
6 个节点的最小生成树为
(v1) _ (v2) _ (v4) _ (v6)
|
(v3)
|
(v5)
总重量= 3 + 4 + 6 + 8 + 10 = 31
从上面的例子我们可以观察到，当我们添加第k个节点时，生成树的权重增加了2k-2。设 T(n) 为最小生成树的权重。 T(n) 可以写成
T(n) = T(n-1) + (2n-2) 对于 n > 2
T(1) = 0, T(2) = 0 和 T(2) = 3
递归可以写成 (2n – 2) + (2n-4) + (2n-6) + (2n-8) + … 3 并且这个递归的解是 n^2 – n + 1。
2) n = 10 的前题 MST 中从 v5 到 v6 的路径长度为
(一) 11
(乙) 25
(三) 31
(四) 41
答案：(C)
任何具有超过 5 个节点的 MST 将在 v5 和 v6 之间具有相同的距离，因为所有 MST(具有超过 5 个节点)的基本结构将遵循。
(v1) _ (v2) _ (v4) _ (v6) _ . . (more even numbered nodes)
|
(v3)
|
(v5)
|
.
.
(more odd numbered nodes)
v5 和 v6 之间的距离 = 3 + 4 + 6 + 8 + 10 = 31
3) 考虑两个二元运算符’↑’和’↓’，运算符↓的优先级低于↑运算符的优先级。运算符 ↑ 是右结合，而运算符↓ 是左结合。以下哪一项代表表达式的解析树(7 ↓ 3 ↑ 4 ↑ 3 ↓ 2)?
答案：(乙)
让我们考虑给定的表达式 (7 ↓ 3 ↑ 4 ↑ 3 ↓ 2)。
由于 ↑ 的优先级较高，因此将首先评估子表达式 ([3 ↑ 4 ↑ 3)。在这个子表达式中，4 ↑ 3 将首先被评估，因为 ↑ 是从右到左结合。所以表达式被计算为 ((7 ↓ (3 ↑ (4 ↑ 3))) ↓ 2)。另请注意，在两个 ↓运算符，第一个在第二个之前计算，因为 ↓ 的结合性是从左到右的。
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