信号与系统导论：系统的特性

信号是携带数据的电或电磁电流，可以传输或接收。

在数学上表示为自变量的函数，例如密度、深度等。因此，信号是随时间、空间或任何其他可以传达信息的自变量而变化的物理量。这里的自变量是时间。

时间信号的类型：

1. 连续时间信号 x(t)-在每个时间点定义
2. 离散时间信号 x[n] –仅在一组离散的时间值（整数）上定义。

系统是任何物理组件集或多个设备的函数，它们将信号输入，并产生信号作为输出。

计算信号的能量和功率：

能量– 整个时域上的幅度/幅度（如果复数）的平方。

对于连续时间信号-

    $$$ E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt$$$

对于离散时间信号 –

    $$$ E=\sum_{-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 $$$

Power-能量变化率。

对于连续时间信号。

    $$$ P=\lim_{T\to\infty} 1/(2T) (\int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt)$$$

对于离散时间信号 –

    $$$ P=\lim_{N\to\infty} 1/(2N+1) (\sum_{-N}^{N} |x[n]|^2) $$$

基于功率和能量的信号类别：

1. 能量信号——通常是收敛信号、非周期性信号或有界信号。

       $$$ E < \infty\ and\ P=0 $$$

2. 功率信号——通常是周期性信号，因为它们在图形下包含无限区域并从$+\infty$到$-\infty$ .

       $$$ E \rightarrow \infty\ and\ P=constant $$$

3. 既没有能量也没有功率信号

       $$$ E \rightarrow \infty\ and\ P \rightarrow \infty $$$

自变量的变换：

1. 移位 –可以通过增加或减少自变量（此处为时间）来延迟( x(tT) ) 或提前( x(t+T) ) 信号。

   图形的形状保持不变，只是在时间轴上移动了。

2. 缩放 –信号可以被压缩( x(at), a>1 ) 或扩展( x(t/a), a>1 或 x(at), 1>a>0 )。

   此处，信号图的形状/行为随着基本时间段的变化而变化。在压缩中，时间段减少，而在扩展中，时间段增加。

3. 反转 –也称为折叠，因为如果给定 x(Tt)，图形将围绕 Y 轴或 T 折叠。

系统特性：

1. 周期性 –信号的行为/图形在每个 T 之后重复。因此，

       $$$x(t)=x(t+nT)\ or\ x(t)=x(t-nT)$$$

   这里 T 是基本周期
   所以我们可以说信号在移动 T 的倍数时保持不变。

2. 偶数和奇数 –偶数信号关于 Y 轴对称。
   x(t)=x(-t) 偶数
   x(t)=-x(-t) 奇数
   可以将信号分解为偶数和奇数部分，以便轻松进行某些转换。

       $$$Even(x(t)) = (x(t)+x(-t))/2$$ $$Odd(x(t)) = (x(t)-x(-t))/2$$$

3. 线性-由两个属性组成-

   (i)可加性/叠加-
   如果 x1(t) -> y1(t)
   和 x2(t) -> y2(t)

       $$$x1(t) + x2(t)\ \rightarrow y1(t) + y2(t)$$$

   (ii)缩放特性-
   如果 x1(t) -> y1(t)
   然后

       $$$a*x1(t)\ \rightarrow a*y1(t)$$$

   如果两者都满足，则系统是线性的。

4. 时不变 –输入中提供的任何延迟都必须反映在时不变系统的输出中。

       $$$ take \ x2(t)=x(t-T)$$ $$ then\ y(x2(t))\ must\ be\ =x2(y(t))$$$

   这里 x2(t) 是延迟输入。
   我们检查将延迟输入通过系统是否与输出信号中的延迟相同。

5. LTI 系统 –线性时不变系统。一个线性和时不变的系统。
6. BIBO 稳定性– 有界输入有界输出稳定性。
   我们说一个系统是 BIBO 稳定的，如果-

       $$$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt\ < \infty$$$

7. 因果关系 –因果信号是所有负时间为零的信号。
   如果输出信号的任何值取决于输入信号的未来值，则该信号是非因果的。