足球上的五边形和六边形的数量

给定一个标准的足球，正六边形和五边形被绘制在它上面，如图所示。找出六边形和五边形的数量。

我们可以应用欧拉特征来找出标准足球上六边形和五边形的数量。
根据欧拉特性：对于每个曲面 S 都存在一个整数

    $$$\\chi(S)$$$

这样，每当具有 V 个顶点和 E 个边的图 G 嵌入到 S 中以便有 F 个面（区域被图划分）时，我们有：

    $$$ V - E + F = \\chi(S)$$$

对于球体（足球的形状）

    $$$\\chi(S)$$$

= 2。
因此，方程变为 V – E + F = 2。

现在，让五边形的数量 P 和六边形的数量 H。

顶点数将是：
每个六边形有 6 个顶点，即 6*H。
每个五边形有 5 个顶点，即 5*P。
但是我们已经对每个顶点数了三次，每个相邻多边形一次，按照图片

因此，顶点数 V = (6*H + 5*P)/3。

边数将为：
每个六边形有 6 个边，即 6*H。
每个五边形有 5 条边，即 5*P。
但是我们已经对每条边计算了两次，每个相邻的多边形一次，按照图片

因此，边数 E = (6*H + 5*P)/2。

面数将是：
有 H 个六边形和 P 个五边形，每个形成一个面。因此，人脸总数，F = (H + P)。

所以，我们可以这样写：

    $$$ V - E + F = 2 $$ \\\\ $$ \\frac{6*H + 5*P}{3} - \\frac{6*H + 5*P}{2} + (H + P) = 2$$$

求解这个方程后，我们将得到 P = 12。因此，有 12 个五边形。
现在六边形的数量：
我们可以看到每个五边形都被 5 个六边形包围着。所以应该有 5*P 个六边形，但我们已经为它的 3 个相邻五边形中的每一个计算了每个六边形三次。因此，六边形的数量 = 5*P/3 = 5*12/3 = 20。

因此，标准足球有 20 个六边形和 12 个五边形。

如果您希望与专家一起参加现场课程，请参阅DSA 现场工作专业课程和学生竞争性编程现场课程。