中心六边形数（Centered Hexagonal Number）

中心六边形数是一种多边形数，它是由一个中心的正六边形和六个相邻的正六边形组成，形成了一个类似于蜂窝状结构的模式。中心六边形数可以表示为以下公式：

${\displaystyle H_{n}=3n^{2}-3n+1}$

其中，n是该多边形的边数。

例如，当n=1时，中心六边形数为1；当n=2时，中心六边形数为7。以下是前10个中心六边形数：

${\displaystyle 1,;7,;19,;37,;61,;91,;127,;169,;217,;271}$

中心六边形数可以被用于构建各种图案和设计，并在许多数学领域中具有重要的应用，如数论、几何、代数和组合数学。

如果你想在程序中计算中心六边形数，可以使用以下Python代码实现：

def centered_hexagonal_number(n):
    return 3 * n ** 2 - 3 * n + 1
    
# 示例
print(centered_hexagonal_number(1)) # 输出 1
print(centered_hexagonal_number(2)) # 输出 7

如果你想在程序中生成中心六边形数序列，可以使用以下Python代码实现：

def centered_hexagonal_numbers(n):
    return [3 * i ** 2 - 3 * i + 1 for i in range(1, n+1)]

# 示例
print(centered_hexagonal_numbers(10)) # 输出 [1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271]

在使用中心六边形数时，你可能还需要注意它的一些性质和规律，例如：

• 中心六边形数是正多边形数中的一种，其中另外一些正多边形数包括三角形数、正方形数和五边形数等。
• 中心六边形数是奇数。这是由于3n^2、3n和1都是奇数。
• 中心六边形数和卡塔兰数有一个重要的关系。卡塔兰数可以表示为以下公式：${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}}$ 它们之间的关系可以由以下公式表示：${\displaystyle C_{n-2}=H_{n-1}}$。

参考资料：

• Centered hexagonal number - Wikipedia
• Centered hexagonal numbers - OEIS
• Catalan number - Wikipedia