高斯消元法与高斯乔丹法的区别

在数值计算中，高斯消元法和高斯乔丹法都是求解线性方程组的基本方法。它们的主要区别在于求解过程中的操作数与计算效率。

高斯消元法

高斯消元法是一种基于矩阵变换的求解线性方程组的方法。其基本思想是将系数矩阵通过初等变换（行变换）化为一个简化的上三角矩阵，然后通过回带求解未知数。从计算效率来看，高斯消元法的主要瓶颈在于矩阵的初等变换操作，时间复杂度为 O(n^3)。

以下是高斯消元法的 Python 实现，其中假设输入的系数矩阵为 A，右端向量为 b。

import numpy as np

def gaussian_elimination(A, b):
    n = len(b)
    
    # 高斯消元，将系数矩阵 A 化为上三角矩阵
    for pivot in range(n-1):
        for i in range(pivot+1, n):
            factor = A[i, pivot] / A[pivot, pivot]
            A[i, pivot+1:] -= factor * A[pivot, pivot+1:]
            b[i] -= factor * b[pivot]
            
    # 回带求解未知数
    x = np.zeros(n)
    for i in range(n-1, -1, -1):
        x[i] = (b[i] - np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])) / A[i, i]
        
    return x

高斯乔丹法

高斯乔丹法是一种基于迭代的求解线性方程组的方法。其基本思想是通过不断迭代求解出近似解，并收敛于真实解。高斯乔丹法的求解过程是通过以下公式进行迭代计算的：

从计算效率来看，高斯乔丹法的主要瓶颈在于迭代次数，时间复杂度为 O(n^2)。

以下是高斯乔丹法的 Python 实现，其中假设输入的系数矩阵为 A，右端向量为 b，最大迭代次数为 max_iter，收敛精度为 tol。

import numpy as np

def gauss_seidel(A, b, max_iter=1000, tol=1e-10):
    n = len(b)
    x = np.zeros(n)
    
    for k in range(max_iter):
        for i in range(n):
            x[i] = (b[i] - np.dot(A[i,:i], x[:i]) - np.dot(A[i,i+1:], x[i+1:])) / A[i,i]
            
        if np.linalg.norm(A @ x - b) < tol:
            break
            
    return x

总结

高斯消元法和高斯乔丹法都是求解线性方程组的常用方法。高斯消元法采用矩阵变换，直接求解出解向量，精度高，但计算效率较低；高斯乔丹法采用迭代求解，速度快，但精度较低。在实际应用中，应根据具体问题的特点选择适当的方法。