减少Polytime Manyone：Clique to E-TM

简介

在计算机科学中，Manyone归约是一种将问题A转化为问题B的计算方法，以便从解决问题B的算法中构造解决问题A的算法。减少Polytime Manyone则是Manyone归约的一种类型，它要求归约函数可以在多项式时间内完成。

在这篇文章中，我们将介绍一个经典的Polytime Manyone归约：从Clique问题到E-TM问题的归约。Clique问题是关于无向图的一个NP完全问题，而E-TM问题是决定性图灵机能否在给定的输入下停止的问题。

Clique问题

给定一个无向图G和整数k，Clique问题是要找出G中具有k个节点的完全子图，即G中的一个子图，其中每一对节点都有一条边相连。Clique问题被证明是NP完全问题，即没有已知的多项式时间算法可以解决它。

E-TM问题

E-TM问题是给定一个描述图灵机的程序和输入，判断在程序执行过程中图灵机是否停止。如果程序执行时图灵机在给定的输入上停止了，则E-TM问题返回“是”，否则返回“否”。

从Clique到E-TM的归约

现在我们将介绍如何将Clique问题多项式时间归约为E-TM问题。

我们假设Clique问题已经给定了一个无向图G和整数k。我们现在需要构建一个描述一个图灵机的程序M和输入w。程序M的行为可以模拟G中所有k个节点的存在。如果G中具有k个节点的完全子图，则M停止；否则，M将一直运行下去。

具体来说，M的操作如下：

1. 将输入w放到图灵机的输入带上。

2. 对于所有的节点v∈V，添加以下状态：

for each v in V:
   for each u in V:
      if (v, u) is not an edge in G and u is not v:
         reject
   accept

这个状态表示，如果对于所有v和u（v和u不是相邻节点），v节点不属于k个节点的完全子图，则拒绝。否则，如果有k个节点形成完全子图，接受。

3. 对于每一对相邻节点v和u，添加以下状态：

for each (v,u) in E:
   reject

这个状态表示，如果v和u是相邻节点，则拒绝。

这样，如果G中存在k个节点的完全子图，则图灵机将沿着第2步中的接受状态行动，并最终停止。否则，我们知道图灵机将永远不会停止，因为它将永远不会沿着第2步中的接受状态行动。这就将Clique问题归约为E-TM问题，证明了E-TM问题是NP完全问题。

总结

在本文中，我们介绍了经典的Manyone归约：从Clique问题到E-TM问题的归约。通过归约，我们证明了E-TM问题是NP完全问题，而这是一个重要的结果，因为它帮助我们更好地理解NP问题集的复杂性。如果您想了解更多关于NP问题和相关归约的知识，建议您继续学习相关领域的知识。