📅 最后修改于: 2023-12-03 15:41:45.589000 🧑 作者: Mango
Clique Decision 问题是一个图论问题，给定一个无向图 G = (V, E) 和一个整数 k，问题是判断 G 中是否存在一个大小为 k 的完全子图（也被称作团）。
为了证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete，需要先证明它是 NP 问题，然后再通过约化归约来证明它是 NP-Complete。
为了证明 Clique Decision 问题是 NP 问题，需要证明以下两个条件：
对于条件 1，假设我们有一个无向图 G，一个整数 k 和一个大小为 k 的完全子图 H，我们可以很容易地验证 H 是否是 G 的一个完全子图。
对于条件 2，可以考虑一个确定性的算法，它尝试枚举每一个可能的大小为 k 的子集，并检查该子集是否是完全子图。由于存在 Clique，所以这个算法会在多项式时间内找到一个大小为 k 的完全子图。因此，Clique Decision 问题是 NP 问题。
为了证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete，需要采用约化归约方法，将一个已知的 NP-Complete 问题约化到 Clique Decision 问题。 假设我们有一个已知的 NP-Complete 问题，称为 SAT（Boolean Satisfiability Problem），它的问题是给定一个布尔表达式，判断其是否有任何一种赋值能够使得表达式为真。
我们可以将 SAT 问题约化到 Clique Decision 问题。具体来说，我们可以使用关联矩阵，将每个变量映射到一个独立的节点，并将每个子句映射到一个大小为 k 的完全子图。对于每个子句中的每个变量，我们在对应的节点与子句对应的完全子图中添加一条边。在这个映射下，SAT 问题的解对应于 Clique Decision 问题中的团。
现在，假设我们有一个 SAT 问题，我们可以通过将其转换为 Clique Decision 问题来找到其解。这个转换可以在多项式时间内完成，因此 Clique Decision 问题是 NP-Complete。
通过证明 Clique Decision 问题是 NP 问题，并将一个已知的 NP-Complete 问题 SAT 约化到 Clique Decision 问题，我们证明了 Clique Decision 问题是 NP-Complete。