📜  证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete(1)

📅  最后修改于: 2023-12-03 15:41:45.589000             🧑  作者: Mango

证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete

什么是 Clique Decision 问题?

Clique Decision 问题是一个图论问题,给定一个无向图 G = (V, E) 和一个整数 k,问题是判断 G 中是否存在一个大小为 k 的完全子图(也被称作团)。

证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete

为了证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete,需要先证明它是 NP 问题,然后再通过约化归约来证明它是 NP-Complete。

Clique Decision 问题是 NP 问题

为了证明 Clique Decision 问题是 NP 问题,需要证明以下两个条件:

  1. 验证算法能够在多项式时间内验证问题的解是否正确;
  2. 存在一个多项式时间的确定性算法,能够解决该问题。

对于条件 1,假设我们有一个无向图 G,一个整数 k 和一个大小为 k 的完全子图 H,我们可以很容易地验证 H 是否是 G 的一个完全子图。

对于条件 2,可以考虑一个确定性的算法,它尝试枚举每一个可能的大小为 k 的子集,并检查该子集是否是完全子图。由于存在 Clique,所以这个算法会在多项式时间内找到一个大小为 k 的完全子图。因此,Clique Decision 问题是 NP 问题。

Clique Decision 问题是 NP-Complete

为了证明 Clique Decision 问题是 NP-Complete,需要采用约化归约方法,将一个已知的 NP-Complete 问题约化到 Clique Decision 问题。 假设我们有一个已知的 NP-Complete 问题,称为 SAT(Boolean Satisfiability Problem),它的问题是给定一个布尔表达式,判断其是否有任何一种赋值能够使得表达式为真。

我们可以将 SAT 问题约化到 Clique Decision 问题。具体来说,我们可以使用关联矩阵,将每个变量映射到一个独立的节点,并将每个子句映射到一个大小为 k 的完全子图。对于每个子句中的每个变量,我们在对应的节点与子句对应的完全子图中添加一条边。在这个映射下,SAT 问题的解对应于 Clique Decision 问题中的团。

现在,假设我们有一个 SAT 问题,我们可以通过将其转换为 Clique Decision 问题来找到其解。这个转换可以在多项式时间内完成,因此 Clique Decision 问题是 NP-Complete。

总结

通过证明 Clique Decision 问题是 NP 问题,并将一个已知的 NP-Complete 问题 SAT 约化到 Clique Decision 问题,我们证明了 Clique Decision 问题是 NP-Complete。